Üres gráf

A matematika, azon belül a gráfelmélet területén a nullgráf kifejezés utalhat a nulladrendű gráfra vagy bármely élmentes gráfra (melyeket üres gráf néven is említenek).

Nulladrendű gráf

Nulladrendű gráf (nullgráf)
Csúcsok száma	0
Élek száma	0
Derékbőség	${\displaystyle \infty }$
Kromatikus szám	0
Élkromatikus szám	0
Automorfizmusok	1
Génusz	0
Spektrum	0
Egyéb	Egész spektrumú Szimmetrikus
Jelölés	${\displaystyle K_{0}}$

A ${\displaystyle K_{0}}$ nulladrendű gráf az egyetlen, csúcsokkal nem rendelkező gráf (ezért a rendje 0). Mivel nincsenek csúcsai, ezért élei sincsenek. Egyes szerzők (definíció szerint vagy csak praktikus okokból) a ${\displaystyle K_{0}}$-t nem tekintik gráfnak. Az, hogy a ${\displaystyle K_{0}}$-t érvényes gráfnak tekintik-e, általában a kontextuson múlik. A pro érvek közé tartozik, hogy a ${\displaystyle K_{0}}$ létezése természetesen következik a gráf fogalmának halmazelméleti megalapozásából (a csúcsok és élek (V, E) rendezett párjai; ebben az esetben mindkét halmaz üres); matematikai bizonyításokban az indukció természetes kiindulópontja, a rekurzívan meghatározott adatstruktúráknál a ${\displaystyle K_{0}}$ szintén hasznos a rekurzió alapeseteként (ha a null fát a nem nulla bináris fa hiányzó éleinek ‘gyerek’ csúcspontjaként kezeljük, bármely nem nulla bináris fának pontosan két gyereke van). A kontra érvek közé tartozik, hogy a ${\displaystyle K_{0}}$ gráfként kezelésével számos gráftulajdonság képletében külön esetként kell kezelni a nullgráfot (például a „számoljuk meg egy gráf erősen összefüggő komponenseit” kifejezésből „számoljuk meg a gráf nemnulla erősen összefüggő komponenseit” lesz, vagy az összefüggő gráf definícióját kell módosítani úgy, hogy kimaradjon belőle a K₀). A kivételek elkerülése végett a szakirodalomban gyakran a „gráf” fogalmát úgy értik, hogy „legalább egy csúccsal rendelkező gráf”, ha a kontextus nem enged másra következtetni.^[1][2]

A kategóriaelmélet területén a nullgráf, a „gráfok kategóriája” egyes meghatározásaiban a kategória kezdeti objektuma.

A ${\displaystyle K_{0}}$, ahogy a ${\displaystyle K_{1}}$ (az egy csúccsal és nulla éllel rendelkező gráf) is, a legtöbb alapvető gráftulajdonságnak semmitmondóan eleget tesz. Néhány példa: a ${\displaystyle K_{0}}$ mérete nulla, megegyezik komplementerével, ${\displaystyle {\overline {K_{0}}}}$-lal, erdő, síkgráf. Tekinthető irányítatlan vagy irányított gráfnak vagy akár mindkettőnek; ha irányított, akkor irányított körmentes gráf. Egyszerre teljes gráf és élmentes gráf. Az egyes gráftulajdonságok definíciója azonban függ attól, hogy a kontextusban megengedjük-e a ${\displaystyle K_{0}}$-t.

Élmentes gráf

Élmentes gráf (üres gráf, nullgráf)
Csúcsok száma	n
Élek száma	0
Sugár	0
Átmérő	0
Derékbőség	${\displaystyle \infty }$
Kromatikus szám	1
Élkromatikus szám	0
Automorfizmusok	n!
Génusz	0
Egyéb	Egész spektrumú Szimmetrikus
Jelölés	${\displaystyle {\overline {K}}_{n}}$

Bármely n természetes számhoz tartozik egy n rendű ${\displaystyle {\overline {K}}_{n}}$ élmentes gráf, éltelen gráf (vagy üres gráf), mely az n csúcsból és nulla élből álló gráf. Olyan kontextusban, ahol a nulladrendű gráf nem megengedett, nullgráfnak is nevezik.^[1][2]

A ${\displaystyle {\overline {K}}_{n}}$ jelölés onnan ered, hogy az n-csúcsú élmentes gráf éppen a ${\displaystyle K_{n}}$ teljes gráf komplementere..

Kapcsolódó szócikkek

• Gráfelméleti fogalomtár
• Körgráf
• Útgráf

Jegyzetek

1. Weisstein, Eric W.: Empty Graph (angol nyelven). Wolfram MathWorld
2. Weisstein, Eric W.: Null Graph (angol nyelven). Wolfram MathWorld

• Harary, F. and Read, R. (1973), "Is the null graph a pointless concept?", Graphs and Combinatorics (Conference, George Washington University), Springer-Verlag, New York, NY.