összeadás eredménye From Wikipedia, the free encyclopedia
Összegzés vagy szummázás alatt valamely algebrai struktúra elemeinek (például számoknak, vektoroknak vagy mátrixoknak) az összeadását értik. Az összeadás eredményét összegnek vagy szummának nevezik. Az összegzendő elemeket az összeg tagjainak is hívják.
A végtelen összeget konvergens sorozat határértékeként értelmezik.
Az összeadás asszociativitása miatt a zárójelek elhagyhatóak. Például az „1 + 2 + 4” értelmezésénél mindegy, hogy az (1 + 2) + 4 vagy 1 + (2 + 4). A véges összegzés kommutatív is, tehát az összegzés sorrendje is mindegy. (A végtelen összegek átrendezése az abszolút konvergencia témakörébe tartozik.)
Ha a szummának túl sok eleme van ahhoz, hogy egyszerűen leírható legyen, akkor három ponttal jelölik a hiányzó tagokat. Például az első 100 természetes szám összegét így: 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050.
A matematikában bevezettek egy tömör jelölést a hasonló alakú tagok összegzésére a görög nagy szigma betű segítségével:
Az i alsó index az összegzés indexe, m az összegzés alsó határa, az n az összegzés felső határa. Itt az i=m jelölés arra utal, hogy az i index kezdeti értéke m. Az index további értékei szukcesszíven 1-gyel növelve adódnak egészen n-ig. Ebben a kifejezésben az i csak egy betű, bármely más szimbólum használható helyette, a következő példában az indexet k jelöli:
Ha az alsó és a felső határ a kontextusból nyilvánvaló, akkor gyakran elhagyják őket:
jelentése:
Gyakran találkozni a jelölés általánosításával is, ahol a szigma jel alatt logikai kifejezés szerepel és az összegzés a kifejezést kielégítő elemekre értendő. Például az f(k) értékek összege az adott intervallum k egészeire:
Az f(x) értékek összege az S halmaz minden x elemére:
A μ(d) értékek összege az n szám minden d osztójára:
Egymásba ágyazott összegek leírására használnak egyszerűsített írásmódokat is. Például a
kifejezés egyenértékű az alábbival:
Az összegzés programozási nyelveken is reprezentálható. Az összegzés az egyik legegyszerűbb és leggyakrabban használt triviális algoritmus a lineáris keresés és az extrémumkeresés mellett. Értelemszerűen 0 értékre, az összeadás neutrális elemére, kell inicializálni a szummaváltozót, bár ez egyes programnyelvekben automatikus.
Az alábbi programkód értelmes C, C++, C# és Java nyelveken, feltételezve, hogy az m
és az n
értelmezett int
típusú változók, továbbá az x
egy int
alaptípusú vektor, melynek m és n érvényes indexei.
int i;
int sum = 0;
for (i = m; i <= n; i++)
sum += x[i];
Az alábbi implementáció Python nyelvű:
sum(x[m:n+1])
Perl programozási nyelvben készült a következő példa:
$sum += $x[$_] for ($m..$n);
Fortran és Matlab nyelveken értelmes az alábbi kifejezés:
sum(x(m:n))
Egy Ruby programozási nyelvű példa a következő:
x[m..n].inject{|a,b| a+b}
Nem programozási nyelv, hanem dokumentum-leírónyelv a TeX, a LaTeX és a wiki jelölőnyelv, melyeken a következőképpen írható le az összeg:
\sum_{i=m}^n x_i
Az üres összeg az üres halmaz elemeinek összege. Értéke megegyezés szerint a nullelem, tehát valós számok körében a 0, vektorok körében a nullvektor stb.
Az egytagú összeg megegyezik az egyetlen tagjának értékével.
Monoton függvények összege becsülhető határozott integrálokkal a következőképpen:
Monoton növekvő f függvény esetében:
Monoton csökkenő f függvény esetében:
Általánosabb becslések adhatók az Euler–MacLaurin-képlet segítségével.
Valamely [a, b] intervallumon értelmezett Riemann-integrálható függvények a határozott integrálja becsülhető a Riemann-összegekkel:
Az ilyen becslések pontossága a felosztás finomságának, azaz n-nek függvényében növekszik.
Az alábbi nevezetes azonosságok hasznosak összegek kezelésénél:
Aszimptotikus növekedési sebességek:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.