geometriai művelet From Wikipedia, the free encyclopedia
A geometriában a forgatás az egybevágósági transzformációk közé tartozik. A síkban pont körüli, a térben tengelyes forgatások léteznek. A síkban forgatás az a transzformáció, amire teljesül, hogy az O középpont körüli forgatás során bármely P pont esetére, ami nem az egyértelmű O középpont a POP1 szög a sík minden pontjára ugyanakkora. A térben forgatás az a transzformáció, ami egy adott egyenesen kívüli P pontot egy olyan P1 pontba viszi, ami a P-n átmenő, az egyenesre merőleges síkban ugyanakkora távolságra fekszik, mint a P pont, és a PCP1 irányított szög ugyanakkora minden ilyen P pontra.
A síkban kitüntetett szerepet játszik a 180 fokos forgatás, amit középpontos tükrözésnek is neveznek. Az identitás is felfogható forgatásnak. A síkbeli tengelyes tükrözések a térben kiterjeszthetők forgatássá, amit továbbra is tengelyes tükrözésnek neveznek, és részben hasonló szerepet tölt be, mint a pontra tükrözés a síkban.
Egy sík alakzat elforgatása a szintén pirossal jelölt pont körül
A középpontos forgatásnak a következő tulajdonságai vannak:
nincs fixegyenese, kivéve ha szöge 360 fok többszöröse (azaz a forgatás az identitás, és ekkor minden egyenes fix)
invariáns egyenesei csak akkor vannak, ha szöge 180 fok többszöröse
a pontra tükrözés invariáns egyenesei a középponton átmenő egyenesek
megtartja a körüljárási irányt
a szabályos n-szöget önmagába viszi, ha annak középpontja körül (k/n)x360 fokkal forgat
felírható két tengelyes tükrözés szorzataként, melyek tengelyei a középpontban metszik egymást; a forgatás szöge a két egyenes által közrezárt szög kétszerese, iránya pedig a tükrözések sorrendjétől függ
hegyesszögű forgatás esetén az egyenesek a forgatás szögét zárják be képükkel
két forgatás szorzata forgatás, ha szögeik összege nem a teljesszög többszöröse; egyébként eltolás
Egy síkbeli alakzat forgásszimmetrikus, ha van egy pont a síkban, ami körül bizonyos szögekkel elforgatva önmagába megy át. Ilyenek például a szabályos sokszögek, a téglalap, a kör.
Egy síkbeli alakzat középpontosan szimmetrikus, ha van egy pont a síkban, amire tükrözve az alakzat önmagába megy át. Ilyenek például a paralelogrammák, a kör és a páros oldalszámú szabályos sokszögek.
Előáll két metsző síkra való tükrözés szorzataként: tengelye a két sík metszésvonala, szöge a két sík által bezárt szög kétszerese
Egyértelműen létezik forgatás, amely egy, a tengelyre illeszkedő félsíkot egy adott másik, szintén a tengelyre illeszkedő félsíkba visz
A tengelyt metsző egyenesek képe ugyanabban a pontban metszi a tengelyt, mint az eredeti metsző egyenes
A tengellyel párhuzamos egyenesek képe is párhuzamos a tengellyel
Az ugyanahhoz a tengelyhez tartozó forgatások Abel-csoportot alkotnak
A síkbeli tengelyes tükrözések a térben kiterjeszthetők forgatássá
Két így kapható forgatás akkor és csak akkor egyezik meg, ha tengelyeik megegyeznek
Megkapható két merőleges síkra tükrözéssel
A tengely felezőmerőleges minden pont - pont képe szakaszra
A tengelyen merőlegesen áthaladó egyenesek invariánsak
Három párhuzamos tengelyű ilyen forgatás szorzata is ilyen, és a szorzatban a két szélső tényező felcserélhető
Ezeket a transzformációkat továbbra is tengelyes tükrözésnek nevezik. De ezek, lévén forgatások, irányítástartók. Félfordulatnak is hívják őket.
Lineáris algebra
A sík origó körüli óramutató járásával ellentétes irányú szögű forgatása a következő mátrixszal adható meg:
Több dimenzióban a forgatómátrixok olyan antiszimmetrikus alakra hozhatók, amiben ilyen részmátrixok vannak. Ezek a megfelelő síkbeli pont körüli forgatásokat jelzik.
Például három dimenzióban:
ahol az óramutató járásával ellentétes irányú szög az x,y illetve z tengely körüli forgatásokban.
Mindezek a mátrixok négyzetesek, ortogonálisak, és determinánsuk +1. Megfordítva, az ilyen mátrixok forgatómátrixok, azaz a hozzájuk tartozó lineáris leképezés forgatás. Euler tétele szerint a tér minden pozitív ortogonális transzformációja előáll a koordinátatengelyek körüli forgatások szorzataként.
Két és három dimenzióban vannak más reprezentációk is. Síkban komplex számokkal, térben kvaterniókkal is le lehet írni őket.
Csoportelmélet
Az egy középpont körüli forgatások csoportot alkotnak.
Egy síkbeli alakzatot önmagába vivő forgatások csoportot alkotnak. Ez az alakzat forgatáscsoportja.
Az ilyen csoportok lehetnek folytonosak vagy diszkrétek. A diszkrét forgatáscsoportok ciklikusak.
