From Wikipedia, the free encyclopedia
A geometriában az eltolás az egybevágósági transzformációk közé tartozik. Ha a sík vagy a tér minden pontjának képe ugyanabban az irányban, ugyanakkora távolságban fekszik, akkor a transzformáció eltolás. Ha adva van a vektor, akkor a vele való eltolásban minden pont képére teljesül, hogy a vektor egyenlő -vel. Az identitás is felfogható eltolásnak; ekkor az eltolásvektor a nullvektor.
Az n-dimenziós tér eltolásai Abel-csoportot alkotnak, amiben a művelet az eltolások egymás utáni elvégzése. Ebben a csoportban a kompozíciós (○) helyett inkább az additív (+) jelölést használják, mert így elmondható, hogy az eltolások összegének vektora az összeadandó eltolások vektorainak összege.
Több is igaz. Az n dimenziós test fölötti vektortér eltolásai mint leképezések vektorteret alkotnak az összeadás és a skaláris szorzás műveleteivel, hiszen egy eltolási leképezést megfeleltethetünk az eltolási vektorának. Ezért az eltolások mint leképezések halmazának struktúrája az irányított szakaszok osztályainak struktúrájával ekvivalens: vektortér, ahol a skalárok a test elemei. Ennek a vektortérnek a dimenziója n, ugyanúgy, mint a kiindulási vektortéré.
Fontos megjegyezni, hogy valódi eltolás nem lineáris leképezés, mert a nullvektort nem hagyja helyben.
Ha a derékszögű koordinátákhoz hozzáveszünk még egy koordinátát, és azonosnak tekintjük azokat a pontokat, amik skalárszorosai egymásnak. Tehát homogén koordinátákban .
A homogén koordináták használatával
Mindezekkel csökken a számítási igény, ami fontos például a képalkotásban.
Három dimenzió esetén az eltolás homogén koordinátákban megadott mátrixa így néz ki:
ahol rendre a v eltolásvektor x,y,z koordinátája.
A képalkotó eljárásokban balról szokták szorozni a mátrixokat: ha az A mátrixot szorozzák az x vektorral, akkor az szorzatot veszik. Ezért az eltolásvektor koordinátái az utolsó sorba kerülnek:
A sík eltolásai reprezentálhatók a komplex számok összeadásával, a tér eltolásai pedig a kvaterniók segítségével.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
![{\displaystyle [x_{0}:x_{1}:...:x_{n}]=[\lambda x_{0}:\lambda x_{1}:...:\lambda x_{n}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/317d9a833d353cd02ecbf70f04eba33b5a1350b0)
