Vízszintes hajítás

Hajításnak nevezzük az olyan mozgást, amelynél a Föld (vagy valamely más égitest) felszínének közelében^[1] leeső pontszerű testnek van kezdősebessége.

Vízszintes hajítás ábrázolása 1547-ből

Vízszintes hajítás akkor jön létre, ha a test kezdősebessége vízszintes. A vízszintes hajítás két mozgás összegének tekinthető: a test vízszintesen egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, a mozgás függőleges összetevője pedig szabadesés^[2].

A vízszintes hajítás kinematikai jellemzői

A kezdősebesség vízszintes hajításnál

A mozgás leírásához vegyünk fel egy koordináta-rendszert úgy, hogy az origó a test kiindulási (t = 0-hoz tartozó) helyzeténél legyen, az Y tengely függőlegesen lefelé mutasson, az X tengely iránya pedig egyezzen meg a v₀ kezdősebesség irányával! A mozgás kezdősebessége és a g nehézségi gyorsulás is az XY síkban helyezkedik el, így a test végig ebben a síkban mozog, azaz a Z koordináta folyamatosan nulla marad. (Emiatt a Z koordinátával a továbbiakban nem foglalkozunk.)

Gyorsulás

Mivel a test vízszintesen nem gyorsul, a g nehézségi gyorsulás pedig függőlegesen lefelé mutat, ezért a gyorsulás X, illetve Y koordinátája:

${\displaystyle a_{x}=0}$

${\displaystyle a_{y}=g}$

Sebesség

A test vízszintesen állandó v₀ sebességgel mozog, függőlegesen pedig g gyorsulással szabadon esik. Ezek alapján a sebesség X, illetve Y koordinátája:

${\displaystyle v_{x}=v_{0}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\,(1)}$

${\displaystyle v_{y}=g\cdot t\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ (2)}$

A két összetevőből a Pitagorasz-tétel alapján meghatározható a test sebességének nagysága:

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\ }}}$

Elmozdulás

Az elmozdulás és összetevői

Az egyenes vonalú egyenletes mozgásra, illetve a szabadesésre vonatkozó összefüggésekből meghatározható az elmozdulás X, illetve Y koordinátája:

${\displaystyle x=v_{0}\cdot t\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ (3)}$

${\displaystyle y={g \over 2}\cdot {t^{2}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \,(4)}$

A Pitagorasz-tétel alapján a két összetevőből meghatározható a test elmozdulásának nagysága:

${\displaystyle \Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}\ }}}$

A mozgás pályája vízszintes hajításnál

A pálya alakjának meghatározásához a (3) egyenletből fejezzük ki a t időt, és helyettesítsük a (4) egyenletbe! Ebből a pálya egyenlete:

${\displaystyle y={g \over {2\cdot {v_{0}^{2}}}}\cdot x^{2}\qquad \qquad \qquad \qquad \;(5)}$

A kapott összefüggés egy y = a·x² alakú másodfokú függvény, ezért a vízszintes hajítás pályája egy olyan parabola, amelynek szimmetriatengelye függőleges, és amelynek a tengelypontja az origóban van.

A hajítás távolsága

A hajítás távolsága vízszintes hajításnál

A test mindaddig süllyed, amíg el nem éri a talajt (vagy bele nem ütközik valamibe). Emiatt a test folyamatosan a kiindulási szint alatt halad.

Ha a test a vízszintes talaj feletti pontból indul, akkor a hajítás távolsága az a d távolság, amelyet a test vízszintesen megtesz a talajra érkezésig. Ha az indulási hely h magasságban van a talaj felett, akkor a talajra érkezéskor y = h, így az (5) alapján:

${\displaystyle h={g \over {2\cdot {v_{0}^{2}}}}\cdot d^{2}}$

Ennek a másodfokú egyenletnek egyetlen pozitív megoldása ^[3] van:

${\displaystyle d={\sqrt {\frac {2\cdot h}{g}}}\cdot v_{0}}$

A közegellenállás és egyéb tényezők szerepe

Egyes szökőkutaknál a vízcseppek mozgása vízszintes hajítás

Papírrepülő. A vízszintesen eldobott repülő mozgását a levegő is jelentősen befolyásolja.

Mivel a gyakorlatban az elhajított (kilőtt) test nem pontszerű, így további tényezők is befolyásolják a mozgást. Ezek közül a legjelentősebb a közegellenállás (légellenállás). A közegellenállási erő nagysága függ a test sebességre merőleges keresztmetszetének területétől, a test sebességének nagyságától, a közeg sűrűségétől és a test alakjától is.

A nyugvó levegő a mozgás során folyamatosan fékezi a testet, ezért annak sebessége mindig kisebb, mint az (1) és (2) alapján számított értékek. Ennek következtében az elmozdulás is eltér a (3) és (4) alapján számított értéktől, emiatt a mozgás pályája nem parabola, hanem ballisztikus görbe. Ez az (5) képlet által meghatározott pálya alatt halad.

A szél hatása ugyancsak közegellenállásnak tekinthető, amely a széliránytól függően fékezheti, gyorsíthatja vagy oldalra is eltérítheti a testet.

A test alakja a közegellenállás miatt befolyásolja az elhajított test mozgását. Például a papírrepülőnél és a frizbinél, de a lövedékek röppályájának kiszámítása során is figyelembe kell venni a test alakját.

A forgó testek gázokban vagy folyadékban történő mozgását a Magnus-effektus is befolyásolja. Ha például egy labdát úgy rúgnak, dobnak vagy ütnek el, hogy a labda forog, akkor az így „megcsavart” labda pályája többnyire nem síkmozgás, és jelentősen eltérhet az (5) egyenlet által meghatározott parabolapályától. Ugyancsak erre vezethető vissza, hogy a huzagolt csövű lőfegyverekből kilőtt lövedékek forgó mozgásuk miatt oldalirányba eltérnek („oldalgás”). Mindezt a pontos célzáskor-irányzáskor figyelembe kell venni.

Nagy magasságokban történő vízszintes hajításnál számolni kell azzal is, hogy a nehézségi gyorsulás a Föld középpontjától távolodva egyre kisebb lesz. Mindez befolyásolja a test mozgását, illetve a pálya alakját is. Nagy távolságra történő hajításkor számolni kell a Föld görbületével is.^[4]

Más égitesteken a nehézségi gyorsulás többnyire eltér a Földön mért értéktől^[5], így ott az elhajított testek a földitől eltérő pályán mozognak.

Kapcsolódó szócikkek

• Hajítás
• Ferde hajítás
• Függőleges hajítás
• Ballisztikus pálya
• Ballisztikus görbe

Jegyzetek

1.  Ahol a nehézségi gyorsulás állandónak tekinthető
2.  Feltéve, hogy a közegellenállás elhanyagolható
3.  Az egyenlet másik gyöke negatív, de a d távolság nem lehet negatív.
4.  Például 8 km távolságban a felszín már 5 méterrel a vízszintes sík alatt van, de 16 km távolságnál ez az érték már 20 méter.
5.  Megközelítőleg 9,81 m/s²

Források

• Budó Ágoston: Kísérleti fizika I.,Budapest, Tankönyvkiadó, 1986. ISBN 963 17 8772 9
• Ifj. Zátonyi Sándor: Fizika 9.,Budapest, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2009. ISBN 978-963-19-6082-2
• Hack Frigyes: Négyjegyű függvénytáblázatok, összefüggések és adatok, Budapest, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2004. ISBN 963-19-3506-X

További információk

A Wikimédia Commons tartalmaz Ballisztika témájú médiaállományokat.