matematikai állítás From Wikipedia, the free encyclopedia
A Pick-tétel egy diszkrét geometria témakörébe tartozó tétel. Először Georg Alexander Pick publikálta 1899-ben. A tétel egy rácssokszög területét adja meg a belsejében és az oldalain található rácspontok számából:
ahol b a belsejében, k az oldalain és a csúcsain található rácspontok számát jelöli.[1][2][3][4]
Legyen a rácssokszög csúcsainak száma n, élein található rácspontok száma e, belsejében található rácspontok száma b. Osszuk fel a rácssokszöget maximális számú, átfedés nélküli üres rácsháromszögre! (Ahol az üres alatt azt értjük, hogy se a belsejében, se az oldalain nem tartalmaz rácspontot.) Mivel minden rácspont kizárólag csúcson lesz, élen vagy belül nem, a körülötte levő szögek mind a háromszögek csúcsainál levő szögek lesznek. Felhasználva, hogy egy háromszög szögeinek összege 180°, és hogy egy n-szög belső szögeinek összege (n-2)*180°, azt kapjuk, hogy bármilyen felosztásnál pontosan üres rácsháromszög keletkezik.
Most szükségünk lesz egy lemmára: minden üres rácsháromszög területe ½.
A területét alulról korlátozhatjuk például vektoriális szorzással. Mivel minden csúcsának koordinátája egész, egyik csúcsát origónak véve a területe
amely érték nem kisebb ½.-nél. A területet felülről korlátozhatjuk például egy ismert területű rácssokszög felvételével. Ha adott egy tetszőleges üres rácsháromszög, vegyünk fel köré egy megfelelően nagy, k oldalhosszú négyzetet. Osszuk fel a négyzetet üres rácsháromszögekre, hogy az általunk kiválasztott rácsháromszög is köztük legyen.
darab üres rácsháromszögre bontható föl egy k2 területű négyzet, tehát minden benne lévő üres rácsháromszög területe, és így az általunk belátni kívánté is ½.
Tehát egy rácssokszög területe:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.