ortogonális koordináta-rendszer From Wikipedia, the free encyclopedia
A paraboloid koordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, ami a parabolikus koordináta-rendszer térbeli általánosítása a koordinátákkal. Koordinátafelületei elliptikus paraboloidok. Különbözik a parabolikus hengerkoordináta-rendszertől és a forgásparaboloid koordináta-rendszertől, melyek szintén a kétdimenziós parabolikus koordináta-rendszer térbeli általánosításai. Az előbbi koordinátafelületei parabolikus hengerek, míg a másodiké forgásparaboloidok. Szemben a másik két koordináta-rendszertől, nem kapható meg a kétdimenziós parabolikus koordináta-rendszer vetítésével vagy forgatásával.
Az Descartes-koordináták a következő egyenletekkel kaphatók meg a koordinátákból:[1]
ahol
Következik, hogy a konstans -jű felületek lefelé nyitott elliptikus paraboloidok:
a konstans -höz tartozó koordinátafelületek felfelé nyitott elliptikus paraboloidok:
a konstans -hoz tartozó felületek hiperbolikus paraboloidok:
A paraboloid koordináták skálázási tényezői:[2]
így az infinitezimális térfogatelem
A differenciáloperátorok kifejezhetők a koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe. Például a gradiens:
és a Laplace-operátor:
A paraboloid koordináta-rendszer hasznos bizonyos differenciálegyenletek megoldásához. Például a Laplace-egyenlet és a Helmholtz-egyenlet szeparábilis a paraboloid koordinátákban. Így a koordináta-rendszer használható paraboloid szimmetriájú rendszerekben, például amikor a peremfeltételek paraboloidszeleten vannak megadva.
A Helmholtz-egyenlet . Elvégezve a helyettesítést, a leválasztott egyenletek: [3]
ahol és szeparációs konstansok. Hasonlóan, a Laplace-egyenlet megkapható a helyettesítéssel a fentiekbe.
A leválasztott egyenletek mindegyike a Baer-egyenlet alakjára hozható. Azonban az egyenletek közvetlen megoldása nehézkes, mivel az és konstansok mindegyike megjelenik minden egyenletben.
A fenti megközelítéssel a paraboloid koordináták használhatók egy paraboloid alakú vezető elektromos mezőjének megoldásához.[4]
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.