Lipschitz-tulajdonság

Azt mondjuk, hogy az ${\displaystyle f}$ valós-valós függvény teljesíti a Lipschitz-tulajdonságot (vagy Lipschitz-folytonos, vagy a matematikus argóban lipschitzes), ha létezik olyan ${\displaystyle L}$ nemnegatív valós szám, amelyre az ${\displaystyle f}$ függvény értelmezési tartományában lévő minden ${\displaystyle x}$ és ${\displaystyle y}$ pontra fennáll az

${\displaystyle \left\vert f(x)-f(y)\right\vert \leq L\cdot \left\vert x-y\right\vert }$

egyenlőtlenség.

Lényegében ez azt jelenti, hogy a függvény görbéjének két tetszőleges pontjához húzott szelő nem lehet akármilyen nagy meredekségű, csak ${\displaystyle L}$ és ${\displaystyle -L}$ közötti érték. A függvény tehát nem változhat akármilyen nagyot.

A differenciálegyenletek elméletében a Lipschitz-folytonosság a központi feltétel a Picard–Lindelöf-tételhez, mely a kezdetiérték-probléma megoldásának egyértelmű létezését biztosítja. Egy speciális típusú lipschitzesség, a kontrakció ${\displaystyle (L<1)}$ tulajdonsága fontos szerepet játszik Banach fixponttételében. A Riemann-integrál elméletében az integrálfüggvény karakterisztikus tulajdonságai közül az egyik, hogy az integrálfüggvény Lipschitz-függvény.^[forrás?]

A Lipschitz-tulajdonság definiálható mind a normált, mind a metrikus terekben. A Lipschitz-függvények elsőrendű Hölder-függvények, így a Hölder-folytonosság a fogalom egy általánosításának tekinthető.

Tulajdonságok

Minden korlátos deriváltú, differenciálható függvény Lipschitz-függvény ( ${\displaystyle sup|f'|}$ alkalmas Lipschitz-konstansnak).

Minden ${\displaystyle f}$ Lipschitz-tulajdonságú függvény egyenletesen folytonos (így tehát folytonos is), hiszen tetszőleges ${\displaystyle \varepsilon }$ pozitív számra a ${\displaystyle \delta$ :=\varepsilon /L} olyan, hogy ha ${\displaystyle |x-y|<\delta }$, akkor:

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq L|x-y|<L\cdot {\frac {\varepsilon }{L}}=\varepsilon }$.

Visszafelé ez nem igaz. A ${\displaystyle [0,1]}$ intervallumon értelmezett ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}$ függvény ugyanis egyenletesen folytonos Heine-tétel értelmében, de nem lipschitzes, mert a deriváltja – így a szelők meredeksége – akármilyen nagy lehet.

Injektív minden bilipschitzes függvény, azaz olyan függvény, melyre teljesül, hogy létezik ${\displaystyle 1\leq L}$ szám, amivel:

${\displaystyle L^{-1}\cdot |x-y|\leq |f(x)-f(y)|\leq L\cdot |x-y|}$.

Hiszen ha ${\displaystyle x\neq y}$, és ${\displaystyle f(x)}$ mégis egyenlő ${\displaystyle f(y)}$-nal, akkor az egyenlőtlenség miatt ${\displaystyle L^{-1}\cdot |x-y|\leq 0\leq L\cdot |x-y|}$ és ezt csak az ${\displaystyle |x-y|=0}$ tudja kielégíteni, ami ellentmondás.

Kompakt halmazon értelmezett lokálisan Lipschitz-tulajdonságú függvény (globálisan) Lipschitz-tulajdonságú. (Itt lokálisan lipschitzességen azt értjük, hogy minden pontnak van olyan környezete, ahol a függvény lipschitzes.)

Ha az ${\displaystyle f}$ egy ${\displaystyle L}$ Lipschitz-konstansú függvény a (metrikus-, normált-)tér egy részhalmazán van értelmezve, akkor ${\displaystyle f}$ kiterjeszthető a teljes térre úgy, hogy a kiterjesztés még mindig ${\displaystyle L}$ Lipschitz-konstansú legyen. Speciálisan az ${\displaystyle f}$ értelmezési tartományának lezártjára is kiterjeszthető, ahogy az egyenletesen folytonos függvényekre vonatkozó hasonló tételben is ez történik.

Lebesgue tétele szerint minden intervallumon értelmezett valós-valós Lipschitz-függvény majdnem mindenhol differenciálható. Ennek egy általánosítása, hogy tetszőleges, nyílt halmazon értelmezett többváltozós, valós értékű függvény szintén majdnem mindenhol differenciálható – ez Rademacher tétele.

Irodalom

Laczkovich Miklós – T. Sós Vera: Analízis 1., ELTE jegyzet

Külső hivatkozások

• PlanetMath: Lipschitz function Archiválva 2007. szeptember 27-i dátummal a Wayback Machine-ben
• MathWorld: Lipschitz Function
• Encyclopaedia of Mathematics: Lipschitz condition
• Juha Heinonen: Lectures on lipschitz analysis – PDF