From Wikipedia, the free encyclopedia
A statisztikában a konzisztens becslés vagy aszimptotikusan konzisztens becslés egy becslés – a θ0 paraméter valós értékének kiszámítására szolgáló szabály –, amelynek az a tulajdonsága, hogy ahogy a felhasznált adatpontok száma korlátlanul növekszik, a kapott becslések sorozatának valószínűségi határértéke (plim) θ0-hoz konvergál. Ez azt jelenti, hogy a becslések eloszlása egyre inkább a becsült paraméter valódi értékéhez közel koncentrálódik, így annak valószínűsége, hogy a becslő tetszőlegesen közel kerül θ0-hoz, egyhez konvergál.
A gyakorlatban ez úgy működik hogy készítünk egy becslést egy rendelkezésre álló n méretű minta alapján, majd elképzeljük, hogy tovább gyűjthetjük az adatokat, és a végtelenségig bővíthetjük a mintát. Ily módon n-nel indexelt becslések sorozatát kapjuk, és a konzisztencia arra vonatkozik, hogy mi történik akkor, ha a minta mérete „a végtelenségig nő”. Ha a becslések sorozata matematikailag kimutathatóan valószínűségében konvergál a valódi θ0 értékhez, akkor konzisztens becslésnek nevezzük; ellenkező esetben a becslést inkonzisztensnek mondják.
Az itt meghatározott konzisztenciát néha gyenge konzisztenciának is nevezik. Ha a valószínűségi konvergenciát majdnem biztos konvergenciával helyettesítjük, akkor a becslés erősen konzisztensnek mondható. A konzisztencia a torzítottsághoz hasonló fogalom, mivel mindkettő azt méri hogy egy becslés mennyire „jó” - azonban két különböző szempontból - fontos hogy egyik tulajdonságból sem következik a másik.
Formálisan egy becslés T n a θ paraméterre akkor konzisztens, ha valószínűségben konvergál a valódi paraméterhez: [1]
azaz, ha minden ε > 0 esetén
Egy szigorúbb definíció figyelembe veszi azt a tényt, hogy θ értéke valójában ismeretlen, így a valószínűségi konvergenciának meg kell történnie e paraméter minden lehetséges értékére. Tegyük fel, hogy {pθ: θ ∈ Θ } eloszlások egy halmaza (a parametrikus modell ), és Xθ = {X1, X2, … : Xi ~ pθ } egy végtelen minta a p θ eloszlásból. Legyen { T n ( X θ ) } becslések sorozata valamilyen g ( θ ) paraméterhez. Általában a T n egy minta első n megfigyelésén alapul. Ekkor ezt a { T n } sorozatot (gyengén) konzisztensnek mondjuk, ha [2]
Ez a definíció egy g (θ) függvényt használ θ helyett, mivel az embert gyakran érdekli az alapul szolgáló paraméter egy bizonyos függvényének vagy egy részvektorának becslése.
Tegyük fel, hogy van egy {X1, X2, ...} megfigyelési sorozatunk egy normál N (μ, σ2) eloszlásból. A μ első n megfigyelés alapján történő becsléséhez a mintaátlagot használhatjuk: . Ez meghatározza a becslések sorozatát, az n mintamérettel indexelve.
A normális eloszlás tulajdonságaiból ismerjük ennek a statisztikának a mintavételi eloszlását : T n maga normális eloszlású, μ átlaggal és σ 2 / n szórással. Ezzel egyenértékűen sztenderd normál eloszlású:
ahogy n a végtelenhez tart, bármely rögzített ε > 0 számra. Ezért a mintaátlagok T n sorozata konzisztens a sokaság átlagára nézve μ ( a normális eloszlás kumulatív eloszlás függvénye).
Az aszimptotikus konzisztencia fogalma nagyon közel áll, szinte szinonimája a valószínűségi konvergencia fogalmának. Mint ilyen, bármely tétel, lemma vagy tulajdonság, amely valószínűségi konvergenciát állapít meg, felhasználható a konzisztencia bizonyítására. Számos ilyen eszköz létezik:
a h függvény leggyakrabban vagy az abszolút érték (ebben az esetben ez a reláció Markov-egyenlőtlenségként ismert), vagy a négyzet függvény (ekkor ez a Csebisev-egyenlőtlenség ).
A becslő lehet torzítatlan, de nem konzisztens. Például egy {x1, ..., xn} iid mintához használható a Tn (X) = xn mint az E[x] átlag becslője. Vegyük figyelembe, hogy itt a Tn mintavételi eloszlása megegyezik a mögöttes eloszlással (bármely n esetén, mivel figyelmen kívül hagy minden pontot, kivéve az utolsót), így E[ Tn(X)] = E[x] és torzítatlan, de nem konvergál semmilyen értékhez.
Ha azonban a becslések sorozata torzítatlan és konvergens értékhez, akkor konzisztens, mivel a helyes értékhez kell konvergálnia.
Másrészről a becslés lehet torzított, de konzisztens. Például, ha az átlagot a következővel becsüljük meg: akkor ez a becslés torzított, de ahogy , megközelíti a helyes értéket, és így konzisztens.
Fontos példa a minta varianciája és a minta szórása. A Bessel-korrekció nélkül (vagyis a mintaméret helyett a szabadságfokot használjuk normalizálásra), is negatívan torzított, de konzisztens becslés. A korrekcióval a korrigált minta varianciája torzítatlan, míg a korrigált minta szórása továbbra is torzított, de kevésbé, és mindkettő továbbra is konzisztens: a korrekciós tényező 1-hez konvergál a minta méretének növekedésével.
Íme egy másik példa. Legyen becslések sorozata -re:
Láthatjuk, hogy , , és a torzítás nem konvergál nullához.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.