Komplex konjugált

A matematikában a komplex konjugált egy komplex szám képzetes része előjelének megváltoztatásával képződik. Így a

${\displaystyle z=a+ib\,}$

A z komplex szám és konjugáltja ábrázolása a komplex síkon

komplex szám (ahol ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ valós számok) konjugáltja

${\displaystyle {\overline {z}}=a-ib.\,}$

A komplex konjugáltat időnként ${\displaystyle z^{*}}$-gal jelölik. A továbbiakban a jelölés ${\displaystyle {\bar {z}}}$ lesz, hogy elkerülhető legyen egy mátrix konjugált transzponáltjával való összecserélés. Megjegyzendő, hogy ha egy komplex számot ${\displaystyle 1\times 1}$-es vektornak tekintünk, akkor a jelölések megegyeznek.

Például:

• ${\displaystyle {\overline {(3-2i)}}=3+2i}$
• ${\displaystyle {\overline {i}}=-i}$
• ${\displaystyle {\overline {7}}=7}$

A komplex számokat szokásosan a komplex sík egy pontjának fogják fel. A Descartes-féle koordináta-rendszerben az ${\displaystyle x}$-tengely tartalmazza a valós számokat, az ${\displaystyle y}$-tengely pedig az ${\displaystyle i}$ többszöröseit. Ha a komplex számot a komplex számsíkon képzeljük el, akkor a konjugált az eredeti szám x-tengelyre vett tükörképe.

Poláris alakban az ${\displaystyle re^{i\phi }}$ konjugáltja ${\displaystyle re^{-i\phi }}$. Ez könnyen igazolható az Euler-formulával.

Tulajdonságok

Az alábbi tulajdonságok minden ${\displaystyle z}$ és ${\displaystyle w}$ komplex számra igazak:

${\displaystyle {\overline {(z+w)}}={\overline {z}}+{\overline {w}}\!\ }$

${\displaystyle {\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}\!\ }$

${\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}}$ , ha ${\displaystyle w}$ nem nulla

${\displaystyle {\overline {z}}=z\!\ }$ akkor és csakis akkor, ha ${\displaystyle z}$ valós

${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|}$

${\displaystyle {\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}}$

${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}}$, ha ${\displaystyle z}$ nem nulla

Ha ${\displaystyle p(x)}$ valós együtthatós polinom, és ${\displaystyle p(z)=0}$, akkor ${\displaystyle p({\overline {z}})=0}$ is teljesül. Így valós együtthatós polinomok nem-valós komplex gyökei konjugált párokat alkotnak.

A komplex számokból komplex számokba képező ${\displaystyle z\mapsto {\overline {z}}}$ függvény folytonos. Noha igen egyszerű, nem analitikus, mert orientációfordító, míg az analitikus függvények lokálisan orientációtartók. Mivel bijektív és megőrzi a műveleteket, a komplex számtest automorfizmusa. Mivel a valós számokat fixen hagyja, a ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$ testbővítés Galois-csoportjának eleme. ${\displaystyle \mathbb {C} }$-nek pontosan két olyan automorfizmusa van, ami a valósokat fixen hagyja: az identitás és a konjugálás, azaz az említett Galois-csoport kételemű.

Általánosítás

Általában, egy ${\displaystyle F}$ test feletti algebrai ${\displaystyle \alpha }$ elem konjugáltjainak ${\displaystyle \alpha }$ kanonikus polinomjának gyökeit nevezzük. (A kanonikus polinom az a legalacsonyabb fokú, 1 főegyütthatós polinom, aminek ${\displaystyle \alpha }$ gyöke.) Ez valóban általánosítja definíciónkat, hiszen az ${\displaystyle a+bi}$ nemvalós komplex szám kanonikus polinomja

${\displaystyle (x-(a+bi))(x-(a-bi))=x^{2}-2ax+(a^{2}+b^{2}).}$

Ha ${\displaystyle \alpha }$ algebrai ${\displaystyle F}$ felett, kanonikus polinomja elsőfokú faktorokra esik szét a felbontási testben:

${\displaystyle (x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{n}),}$

ahol ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha }$. A felbontási test ${\displaystyle F}$-et fixen hagyó automorfizmusai megkaphatók az ${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha _{i}}$ leképezések segítségével (${\displaystyle i=1,\dots ,n}$).

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap