From Wikipedia, the free encyclopedia
A matematikában valamely függvény (vagy leképezés) inverzén („megfordításán”) azt a relációt értjük, amely által az eredeti függvény kiinduló adataiból nyert eredményekből (a képelemekből) visszanyerhetőek a kiinduló adatok. Ez a reláció nem mindig függvény, azaz egy kiinduló elemhez nem feltétlenül egy elemet rendel.
Amennyiben egy függvény inverze maga is függvény, akkor a függvényt invertálhatónak mondjuk, inverz relációját pedig az eredeti függvény inverz függvényének. Gyakran röviden csak inverzről is szokás beszélni (noha ez a beszédmód pontatlan, hiszen összekeveri az inverz reláció és inverz függvény fogalmát).
Például a valós számokon értelmezett függvény – amely minden számhoz egyet ad – inverze , mert és . Ez esetben a g(x)-szel jelölt reláció maga is függvény. Ugyanakkor a valós számokon értelmezett függvénynek nincs inverz függvénye. Az inverz reláció ugyanis minden pozitív számhoz két számot rendel (pl. 9-hez a 3-at és −3-at), a negatív számokhoz pedig semmit. Ugyanakkor az inverz relációnak van egy olyan, a g képhalmazából maximális sok elemet megőrző leszűkítése, amely már függvény: ez a négyzetgyökvonás függvénye. Tágabb értelemben – különösen a valós analízisben – az ily módon nyert függvényeket is inverz függvényeknek nevezik (leggyakrabban a ciklometrikus függvényekre alkalmazzák az inverz szót ily módon, melyek a trigonometrikus függvények „inverzei”). Természetesen nem csak a számokon értelmezett függvényeknek lehet inverz relációiról és inverz függvényéről beszélni.
Formálisan az függvény inverzét a (ejtsd: „f inverze”) szimbólummal jelölik.
tehát
Valamely f függvény inverz függvény, ha létezik, akkor egyértelműen létezik, ezért jogos a határozott névelő használata: pl. f az inverz függvénye g-nek.
Függvény inverze csak kölcsönösen egyértelmű hozzárendelések esetén lehetséges, azaz olyan függvények esetén, amelyek különböző -ekhez különböző -okat rendelnek, máskülönben nem teljesülne a fenti egyértelműségi kitétel. Hasonlóképpen leképezés inverze csak kölcsönösen egyértelmű ráképezések esetén lehetséges, azaz olyan leképezések esetén, amelyek különböző -ekhez különböző -okat rendelnek és minden amelyeknél minden elemhez létezik úgy, hogy .
Ha az függvény bijektív, azaz minden egyes -beli értékre egyetlenegy olyan -beli érték létezik, amelyre teljesül, hogy , akkor minden egyes elem esetén:
jelöli azt az egyetlen -beli elemet, melyre
teljesül.
Ekkor -vel jelöljük és az inverz függvényének mondjuk a halmazon értelmezett, függvényt.
Ha az inverz függvénye, akkor és .
Az inverzség egy kölcsönös (szimmetrikus) reláció a függvények között: ha g az inverz függvénye f-nek, akkor f is inverz függvénye g-nek.
A halmazelméletben egy függvény rendezett párok egy speciális halmaza éspedig egy olyan halmazelméleti f reláció, melyre az teljesül, hogy a második komponensében egyértelmű, azaz
Minden az értelmezési tartománybeli x-re tehát egyetlen olyan y létezik, hogy amellyel xfy teljesül. Ez esetben ezt az y-t f(x)-szel jelöljük. Így felírható:
Ekkor az inverz reláció a párok elemeinek megfordításával keletkezik:
Ha ez a reláció szintén függvény, azaz f injektív, akkor az f inverz függvénye. Természetesen ekkor fennáll:
ahol Dom(f) az f függvény értelmezési tartománya, Ran(f) az értékkészlete.
Ha az f függvény értelmezési tartománya a H halmaz és értékkészlete a K halmaznak részhalmaza, akkor ez így jelöljük: f:H K.
Az f : H K függvény jobbinverzeinek (vagy szeléseinek) nevezik az olyan g: K H függvényeket, melyekre teljesül:
Állítás – Ha egy f:H K függvénynek van jobbinverze, akkor f ráképez K-ra.
Állítás – A kiválasztási axióma ekvivalens azzal a kijelentéssel, hogy minden f függvénynek van olyan jobbinverze, mely Ran(f)-en értelmezett.
A kiválasztási axióma mellett tehát érvényes az a kijelentés, hogy egy f:H K függvénynek pontosan akkor van jobbinverze, ha f ráképez K-ra.
Az f:H K függvény balinverzeinek (vagy retrakcióinak) nevezik az olyan h: K H függvényeket, melyekre teljesül:
Állítás – Az f:H K függvénynek pontosan akkor van balinverze, ha injektív.
Állítás – Az f:H K függvény akkor és csak akkor bijekció H és K között, ha K H típusú balinverzei és jobbinverzei léteznek és egyenlők.
Invertálhatónak nevezzük az f:H K függvényt, ha van olyan :K H függvény, amire
egyszerre teljesül. Ekkor -et inverznek nevezzük és ez egyértelmű.
Állítás – Egy H K függvény pontosan akkor invertálható, ha bijektív.
Fontos algebrai tulajdonság a következő. Ha f és g két invertálható függvény, akkor is invertálható és
Ezért a pozitív valós számok halmazán értelmezett y loga y függvény az a alapú exponenciális függvény inverze.
Valójában az is igaz, hogy az a alapú logaritmusfüggvény inverze nem más, mint az a alapú exponenciális függvény.
Egy f invertálható valós-valós függvény inverzének grafikonját megkapjuk, ha az y = x egyenletű egyenesre tükrözzük az f grafikonját.
A legelső állítás, mely a topológia esetén már köthető az inverz függvényhez, az a folytonosság definíciója. Könnyen belátható ugyanis, hogy egy f, a topologikus térből a topologikus térbe képező függvény pontosan akkor folytonos, ha tetszőleges nyílt halmaz f általi ősképe (vagy inverz képe) szintén nyílt. Természetesen az inverz kép és az inverz általi kép nem ugyanaz a fogalom. Míg a ⊆ halmaz
ősképe mindig értelmezett, addig az inverz függvény általi
kép csak invertálható f függvény esetén. Persze ez esetben a két halmaz megegyezik.
Tétel – Ha a és topologikus terek között ható f : függvény injektív és --folytonos, akkor inverze nyílt leképezés.
Ettől még lehet folytonos is és nemfolytonos is.
Az inverz függvény folytonosságára a következő esetekben következtethetünk.
Tétel – Az intervallumon értelmezett, injektív, folytonos függvény inverze folytonos.
Tétel – Az intervallumon értelmezett, szigorúan monoton függvény inverze folytonos.
Az előbbi tételek lényegesen kihasználják, hogy a függvény intervallumon értelmezett és a valós számok halmazába képez. A többdimenziós megfogalmazás általános esetben nem végigvihető.
Érdemes még megemlíteni, hogy intervallumon értelmezett valós-valós függvények esetén az injektivitásból és a folytonosságból következik, hogy a függvény szigorúan monoton, ezért következik az injektivitásból az inverz folytonossága.
Tétel – Az inverz függvény deriváltja – Ha az invertálható, valós-valós f függvény differenciálható az értelmezési tartománya egy u pontjában, differenciálható f(u)-ban és , akkor
Ha a tétel feltételei az f:H K bijektív valós-valós függvény értelmezési tartományának minden pontjára teljesülnek, akkor ezt még a következő egyenlőségekkel is kifejezhetjük:
Az inverz differenciálhatóságának teljesülésére a következő elégséges feltételeket fogalmazhatjuk meg.
Tétel – (lokális alak) – Ha az invertálható, valós-valós f függvény differenciálható az értelmezési tartománya egy u pontjában, folytonos f(u)-ban és , akkor differenciálható f(u)-ban.
Tétel – (globális alak) – Ha az intervallumon értelmezett f valós-valós függvény differenciálható és (azaz a derivált sehol sem nulla), akkor szigorúan monoton és differenciálható.
Ez a tétel lényegében az inverzfüggvény-tétel egy elég erős feltételeket tevő globális megfogalmazása. Az inverzfüggvény-tétel annak az elégséges feltételét fogalmazza meg, hogy egy differenciálható függvény mikor invertálható egy pont közelében.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.