Henger

A henger (idegen szóval cilinder) térbeli test. A henger alapját egy görbe, a vezérgörbe adja. Többnyire olyan hengerről van szó, aminek alapját ellipszis, speciális esetben kör alkotja. Legtöbbször ezt nevezik hengernek.

Egyenes köralapú henger

Elliptikus henger

A keskenyebb, vagyis az alapot képező kör átmérőjénél lényegesen kisebb magasságú vagy szélességű hengert korongnak nevezik.

A(z elliptikus) henger leírható például az alábbi egyenlőtlenség-rendszerrel:

${\displaystyle \left({\frac {x}{r_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{r_{2}}}\right)^{2}\leq 1,\quad 0\leq z\leq h}$

ahol ${\displaystyle r_{1}}$ és ${\displaystyle r_{2}}$ az alapot képző ellipszis sugarai, ${\displaystyle h}$ pedig a henger magassága.

A henger elfajult másodrendű felület, mert egyenletében nem szerepel a harmadik koordináta.

Képletek

Térfogat

A henger térfogata az alap területének és a henger magasságának a szorzata. Ellipszis alapú hengerek térfogata, a fenti jelöléseket használva, az alábbi formula szerint számítható:

${\displaystyle V=\pi r_{1}r_{2}h\,}$

amely köralapú hengernél így egyszerűsödik le:

${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$

Felszín

A kör alapú henger felszíne kiszámítható a palást felületét és az alap felületének kétszeresét összegezve:

${\displaystyle A=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi r(r+h).\,}$

Adott térfogat mellett a henger felszíne a ${\displaystyle h=2r}$ esetben minimális. Adott felszín mellett a térfogat ${\displaystyle h=2r}$ esetben maximális.

Hengerszeletek

Körhenger és sík metszete ellipszis, elfajult esetben két párhuzamos egyenes, vagy üres halmaz.^[1]

Másfajta hengerek

• Más vezérgörbéjű felületeket is hengernek nevezhetnek. Így például beszélnek
  • hiperbolikus hengerről:

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$

• • parabolikus hengerről:

${\displaystyle x^{2}+2ay=0.\,}$

A valós elliptikus hengereken kívül találkozhatunk képzetes elliptikus hengerekkel is, amiknek nincs valós pontjuk:

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1}$

Tankprobléma

Egy fekvő, nem teli hengerben levő folyadék térfogatát is kiszámíthatjuk a térfogat = alapszor magasság képlettel. A körszelet területképletével

${\displaystyle V=r^{2}L\left(\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)-(r-h){\frac {\sqrt {2rh-h^{2}}}{r^{2}}}\right),}$

ahol L a henger hossza, r az alapkör sugara, h a hengerben levő folyadék magassága.

Hengerfelület a topológiában

Vegyünk egy négyzetet, és azonosítsuk egymással két szemben fekvő oldalát. Pontosabban, az ${\displaystyle ([0,1]\times [0,1])}$ egységnégyzet két oldalát a következő reláció szerint azonosítjuk:

(x,0)~(x,1) minden 0 ≤ x ≤ 1-re.

Hasonlóan áll elő a Möbius-szalag, de ahhoz el kell fordítani az egyik oldalt a teljesszög felével.

Galéria

• 
  A henger magassága h-val, az alapkör sugara r-rel jelölve az angol height és a latin radius szavak rövidítéseként.
• 
  A kör átmérőjét itt d (diameter) jelöli.
• 
  Piros, sugárkövetéssel renderelt henger.
• 
  Rácsmodellel szemléltetett henger.

Források

1. MathWorld: Cylindric section

• A henger felszíne a MATHguide-nál
• A henger térfogata a MATHguide-nál
• Spinning Cylinder at Math Is Funnál
• A henger térfogata interaktív animáció a Math Open Reference-nél
• Szűcs András: Topológia

A Wikimédia Commons tartalmaz Henger témájú médiaállományokat.