A parabolikus hengerkoordináta-rendszer egy háromdimenziós ortogonális koordináta-rendszer a matematikában. A kétdimenziós parabolikus koordináta-rendszerből származtatható, melyet egy harmadik, annak síkjára merőleges harmadik koordinátával egészít ki. Így koordinátafelületei konfokális parabolikus hengerek. Több alkalmazásuk is van, például az élek potenciálelméletében.
A további differenciáloperátorok kifejezhetők a koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.
A parabolikus hengerkoordináta-rendszer egységvektorai kifejezve a Descartes-koordináta-rendszer egységvektoraival:
Mivel az összes konstans σ, τ és z értékhez tartozó felület másodfokú felület, Laplace egyenlete szétválasztható a koordináta-rendszerben. A változók szétválasztásával Laplace egyenlete a következő alakba írható:
Osztva V-vel:
Mivel a Z egyenlet elválasztható a többitől, azért:
ahol m konstans. A Z(z) megoldása:
Behelyettesítve −m2-et -be, Laplace egyenlete a következő alakot ölti:
Most leválaszthatjuk az S és a T függvényeket, és bevezetünk egy újabb konstanst, n2-et. Nyerjük, hogy:
Így kapjuk a parabolikus henger harmonikusokat:
Az (m, n) harmonikus függvényei a megoldások szorzatai. A kombináció csökkenti a konstansok számát, és Laplace egyenletének megoldása írható, mint:
A parabolikus hengerkoordináta-rendszer klasszikus alkalmazása parciális differenciálegyenletek megoldása, például Laplace egyenletének és a Helmholtz-egyenletnek megoldásában, mivel így a differenciálegyenletek szétválaszthatókká válnak. Egy példa egy félig végtelen vékony vezető lemez elektromos mezeje.
Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers.New York:McGraw-Hill, 181. o.. ASIN B0000CKZX7(1961)
Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs.New York:Springer Verlag, 96. o.(1967)
Zwillinger D. Handbook of Integration.Boston, MA:Jones and Bartlett, 114. o.(1992). ISBN 0-86720-293-9 Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk.
Moon P, Spencer DE.Parabolic-Cylinder Coordinates (μ, ν, z), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print,New York:Springer-Verlag, 21–24 (Table 1.04). o.(1988). ISBN 978-0-387-18430-2
Ez a szócikk részben vagy egészben a Parabolic cylindrical coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.