Papposz–Guldin-tétel

A Papposz–Guldin-tétel két tétel neve, melyek az alexandriai Papposz és Paul Guldin svájci matematikus nevéhez fűződnek. A tétel segítségével forgástestek térfogata és forgásfelületek felszíne számítható ki.

Forgásfelület területének számításához

Az első tétel

Legyen egy síkgörbe ívhosszúsága s. Forgassuk meg a görbét egy, a síkjában fekvő, de a görbét nem metsző t egyenes körül α szöggel. A görbe C súlypontjának távolsága a t tengelyől r_s. Az első tétel kijelenti, hogy egy síkgörbe megforgatásával nyert forgásfelület A felszíne egyenlő a görbe s ívhosszúsága és a görbe súlypontjának a forgatás közben leírt útjának (körív) szorzatával:

${\displaystyle F=s\cdot r_{s}\cdot \alpha \,}$

Itt

${\displaystyle r_{s}\,}$ a görbe súlypontjának távolsága a t tengelytől,

${\displaystyle \alpha \,}$ pedig a megforgatás szöge.

Például az r sugarú kört a súlypontja körül R sugarú körön megforgatva származtatott tórusz felszíne:

${\displaystyle F=(2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}Rr.\,}$

Forgástest térfogatának számításához

A második tétel

Legyen egy A területű síkidom, és egy t egyenes vele egy síkban, mely nem metszi a síkidomot. Ha a síkidomot a t egyenes mint tengely körül α szöggel elforgatjuk, egy V térfogatú forgástestet súrol. A síkidom C_A súlypontjának távolsága a t tengelytől R_s. Ennek a forgástestnek a térfogata egyenlő a síkidom területének és a súlypont pályája ívhosszának szorzatával:

${\displaystyle V=A\cdot R_{s}\cdot \alpha \,}$

A fenti példa tóruszának térfogata tehát:

${\displaystyle V=(\pi r^{2})(2\pi R)=2\pi ^{2}Rr^{2}.\,}$

Források

• J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve, 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap