Négyszög

A geometriában a négyszög olyan sokszög, amelynek négy oldala és négy csúcsa van. A belső szögeinek összege 360°.

Négyszög
Általános négyszög
Élek, csúcsok száma	4
Átlók száma	2
Belső szögek összege	360°
Szabályos négyszög
szabályos négyszög: a négyzet
Schläfli-szimbólum	{4}
Szimmetriacsoport	D4 diédercsoport
Terület: egységnyi oldalra	1
Belső szög	90°

Szabályos négyszög

A szabályos négyszöget négyzetnek nevezzük, melynek minden oldala egyenlő és minden szöge 90° (derékszög).

Rendszerezés

A matematika a kategóriákat bezárólag értelmezi. Emiatt egy négyzetről például elmondhatjuk, hogy egyben téglalap, rombusz. Ha a négyzeteket mint egy halmazt szemléljük, akkor a négyzetek halmaza például olyan halmaz lesz, mely a paralelogrammák, húrnégyszögek és deltoidok halmazának metszete.

A négyszögek lehetnek egyszerűek (önmagukat nem metszők) vagy elfajultak (önmagukat metszők). Az egyszerű négyszögek továbbá lehetnek konvexek vagy konkávak. A konvex négyszögek (kivétel deltoid) a következőképpen csoportosíthatók:

• Trapéz: legalább két szemközti oldala párhuzamos.
• Húrtrapéz (szimmetrikus trapéz, néhány tárgyalásban: egyenlő szárú trapéz): olyan tengelyesen szimmetrikus négyszög, amelynek szimmetriatengelyére nem illeszkedik csúcs.^[1] Húrtrapézt a szimmetriatengelyére tükrözve két-két csúcs éppen helyet cserél: a szimmetriatengely a húrtrapéz két (egymással szemközti) oldalának közös felezőmerőlegese, a másik két (egymással szintén szemközti oldal) pedig egymás tükörképe. A fenti meghatározáson túl sok más ekvivalens tulajdonság is létezik, amik szintén lehetséges definícióként választhatóak, ez részben tükröződik az alakzatot megnevező szinonimák sokaságában is.
• Paralelogramma: a két-két szemközti oldal párhuzamos. Ebből az is következik, hogy a szemközti oldalak egyforma hosszúak, a szemközti szögek egyenlőek, és az átlók felezik egymást. Minden paralelogramma trapéz.
• Deltoid: két-két egymás melletti oldal azonos hosszúságú. Ebből az is következik, hogy a szögek közül az egyik megegyezik a vele szemközti szöggel, és hogy az egyik átló merőlegesen metszi a másikat, és felezi azt. Angol nyelvterületen csak a konvex négyszögeket tekintik deltoidnak, míg a német és magyar nyelvterületen a konkávot is. Minden konvex deltoid érintőnégyszög.
• Rombusz: mind a négy oldal egyenlő hosszúságú. Ebből az is következik, hogy a szemközti oldalak párhuzamosak, a szemközti szögek egyenlőek, és az átlók merőlegesen metszik és felezik egymást. A rombusz egyben deltoid és érintőnégyszög is.
• Téglalap: minden szöge derékszögű. Ebből az is következik, hogy a szemközti oldalak párhuzamosak és páronként egyenlő hosszúak, illetve hogy az átlók egyenlő hosszúak és felezik egymást. A téglalap egyben paralelogramma és húrnégyszög is.
• Négyzet (szabályos négyszög): mind a négy oldal egyenlő hosszúságú, és minden szöge derékszög. Ebből az is következik, hogy a szemközti oldalak párhuzamosak és páronként egyenlő hosszúak, illetve hogy az átlók egyenlő hosszúak, derékszögben metszik és felezik egymást. A négyzet egyszerre téglalap, paralelogramma, deltoid és húrnégyszög.
• Húrnégyszög: a négy csúcspont köré kör írható, vagyis minden oldala ugyanannak a körnek a húrja.
• Érintőnégyszög: minden oldala ugyanannak a beírt körnek az érintője.
• Bicentrikus négyszög: egyszerre húr- és érintőnégyszög.

Magyarázat az ábrához:

Terület(ek) sorszáma	Megnevezés
1–14	Négyszög
14	Elfajult négyszög
1–13	Egyszerű négyszög
13	Konkáv négyszög
1–12	Konvex négyszög
1–3, 6, 8, 10	Trapéz
1–5, 11	Húrnégyszög
1–3	Húrtrapéz
1, 4–7, 9	Érintőnégyszög
1, 4, 5	Bicentrikus négyszög
1, 2, 6, 8	Paralelogramma
1, 4, 6, 7	Konvex deltoid
1, 4	Bicentrikus deltoid
1, 6	Rombusz
1, 2	Téglalap
1	Négyzet