HU
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms

Matematikai közepek

From Wikipedia, the free encyclopedia

Középérték
A harmonikus középA mértani középA számtani középA négyzetes középA közepek közötti összefüggésekA közepek közötti összefüggések vizuálisan (trapéz)Számtani középBizonyításHarmonikus középBizonyításNégyzetes középBizonyításMértani középBizonyításA közepek közötti összefüggések vizuálisan (kör)BizonyításKapcsolódó szócikkekForrások

A matematikában négy nevezetes középértéket különböztetünk meg: a harmonikus közép, a mértani közép, a számtani közép és a négyzetes közép. Az ezek közötti összefüggés: H ( a 1 ; . . . ; a n ) ≤ M ( a 1 ; . . . ; a n ) ≤ A ( a 1 ; . . . ; a n ) ≤ N ( a 1 ; . . . ; a n ) {\displaystyle H(a_{1};...;a_{n})\leq M(a_{1};...;a_{n})\leq A(a_{1};...;a_{n})\leq N(a_{1};...;a_{n})} {\displaystyle H(a_{1};...;a_{n})\leq M(a_{1};...;a_{n})\leq A(a_{1};...;a_{n})\leq N(a_{1};...;a_{n})} Természetesen létezik k-adik hatványközép, azaz bárhányadik hatványú közép. A számtani, harmonikus, és négyzetes közép is felfogható hatványközépként, rendre első, mínusz egyedik, és második.

 Ehhez a szócikkhez további forrásmegjelölések, lábjegyzetek szükségesek az ellenőrizhetőség érdekében.
Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts a szócikk fejlesztésében további megbízható források hozzáadásával.
Ezt a szócikket némileg át kellene dolgozni a wiki jelölőnyelv szabályainak figyelembevételével, hogy megfeleljen a Wikipédia alapvető stilisztikai és formai követelményeinek.

Harmonikus középértéken a számok reciprokaiból számított számtani közép reciprokát értjük. A harmonikus közepet általában H {\displaystyle \,H} {\displaystyle \,H} betűvel jelöljük.

H ( a 1 ; . . . ; a n ) = 1 1 a 1 + . . . + 1 a n n = n 1 a 1 + . . . + 1 a n {\displaystyle H(a_{1};...;a_{n})={\frac {1}{\frac {{\frac {1}{a_{1}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}{n}}}={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}}} {\displaystyle H(a_{1};...;a_{n})={\frac {1}{\frac {{\frac {1}{a_{1}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}{n}}}={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}}}

Mértani vagy geometriai középértéken n {\displaystyle \,n} {\displaystyle \,n} szám szorzatának n-ed fokú gyökét értjük. Általában G {\displaystyle \,G} {\displaystyle \,G}-vel vagy M {\displaystyle \,M} {\displaystyle \,M}-mel jelöljük.

G ( a 1 ; . . . ; a n ) = a 1 ⋅ a 2 ⋅ a 3 ⋅ . . . ⋅ a n n {\displaystyle G(a_{1};...;a_{n})={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot ...\cdot a_{n}}}} {\displaystyle G(a_{1};...;a_{n})={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot ...\cdot a_{n}}}}

Számtani vagy aritmetikai középértéken n {\displaystyle \,n} {\displaystyle \,n} darab szám átlagát, azaz a számok összegének n {\displaystyle \,n} {\displaystyle \,n}-ed részét értjük. A számtani közepet általában A {\displaystyle \,A} {\displaystyle \,A} betűvel jelöljük:

A ( a 1 ; . . . ; a n ) = a 1 + . . . + a n n {\displaystyle A(a_{1};...;a_{n})={\frac {a_{1}+...+a_{n}}{n}}} {\displaystyle A(a_{1};...;a_{n})={\frac {a_{1}+...+a_{n}}{n}}}

Négyzetes középértéken n {\displaystyle \,n} {\displaystyle \,n} darab szám négyzetéből számított számtani közép négyzetgyökét értjük. A jele általában: N {\displaystyle \,N} {\displaystyle \,N}.

N ( a 1 ; . . . ; a n ) = 1 n ∑ i = 1 n a i 2 = a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a n 2 n {\displaystyle N(a_{1};...;a_{n})={\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}={\sqrt {{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}} \over n}}} {\displaystyle N(a_{1};...;a_{n})={\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}={\sqrt {{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}} \over n}}}
H ( a 1 ; . . . ; a n ) ≤ G ( a 1 ; . . . ; a n ) ≤ A ( a 1 ; . . . ; a n ) ≤ N ( a 1 ; . . . ; a n ) {\displaystyle H(a_{1};...;a_{n})\leq G(a_{1};...;a_{n})\leq A(a_{1};...;a_{n})\leq N(a_{1};...;a_{n})} {\displaystyle H(a_{1};...;a_{n})\leq G(a_{1};...;a_{n})\leq A(a_{1};...;a_{n})\leq N(a_{1};...;a_{n})}

ahol

a i ∈ R 0 + , n ∈ Z + {\displaystyle \qquad a_{i}\in \mathbb {R} _{0}^{+},\quad n\in \mathbb {Z^{+}} } {\displaystyle \qquad a_{i}\in \mathbb {R} _{0}^{+},\quad n\in \mathbb {Z^{+}} }

A közepek „mértékei” megmutathatóak egy trapézban, ha a trapéz alapjainak középértékeit szeretnénk megmutatni.

Számtani közép

A trapéz szárainak felezőpontjait összekötő szakasz az alapok számtani közepe hosszúságú. Thumb
Az ábrán: x = a + c 2 {\displaystyle x={a+c \over 2}} {\displaystyle x={a+c \over 2}}

Bizonyítás


Thumb
Az ábrán p + q = c − a {\displaystyle p+q=c-a} {\displaystyle p+q=c-a} a trapéz tulajdonságai miatt. F 1 I {\displaystyle F_{1}I} {\displaystyle F_{1}I} szakasz középvonal A D K {\displaystyle ADK} {\displaystyle ADK} háromszögben, ezért hossza: p 2 {\displaystyle p \over 2} {\displaystyle p \over 2}, ugyanezért J F 2 = q 2 {\displaystyle JF_{2}={q \over 2}} {\displaystyle JF_{2}={q \over 2}}. Tehát F 1 F 2 {\displaystyle F_{1}F_{2}} {\displaystyle F_{1}F_{2}} hossza: x = a + p 2 + q 2 = a + c − a 2 = a + c 2 {\displaystyle x=a+{p \over 2}+{q \over 2}=a+{{c-a} \over 2}={a+c \over 2}} {\displaystyle x=a+{p \over 2}+{q \over 2}=a+{{c-a} \over 2}={a+c \over 2}}

Harmonikus közép

A trapéz átlóinak metszéspontján átmenő, az alapokkal párhuzamos szakasz hossza az alapok harmonikus közepe hosszúságú. Thumb
Az ábrán: K L = 1 1 a + 1 c 2 = 2 a c a + c {\displaystyle KL={\frac {1}{\frac {{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{c}}}{2}}}={2ac \over a+c}} {\displaystyle KL={\frac {1}{\frac {{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{c}}}{2}}}={2ac \over a+c}}

Bizonyítás


Thumb
Az ábrán A B T {\displaystyle ABT} {\displaystyle ABT} hasonló C D T {\displaystyle CDT} {\displaystyle CDT}-hez, mert megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak (A T-nél lévő szög csúcsszög, a másik kettő pedig a párhuzamosság miatt). A megfelelő oldalak aránya tehát: a c = p q {\displaystyle {a \over c}={p \over q}} {\displaystyle {a \over c}={p \over q}}, akkor a + c c = p + q q {\displaystyle {a+c \over c}={p+q \over q}} {\displaystyle {a+c \over c}={p+q \over q}}. Az A B D {\displaystyle ABD} {\displaystyle ABD} háromszögben alkalmazva a párhuzamos szelőszakaszok tételét: x a = q p + q = c a + c {\displaystyle {x \over a}={q \over p+q}={c \over a+c}} {\displaystyle {x \over a}={q \over p+q}={c \over a+c}}. Innen: x = a c a + c {\displaystyle x={ac \over a+c}} {\displaystyle x={ac \over a+c}}. Ezt A B C {\displaystyle ABC} {\displaystyle ABC}-vel is elvégezve adódik: K L = x + y = 2 a c a + c {\displaystyle KL=x+y={2ac \over a+c}} {\displaystyle KL=x+y={2ac \over a+c}}.

Négyzetes közép

Ha a trapézt két ugyanakkora területű trapézra vágjuk, akkor annak a szakasznak a hossza, mellyel elvágtuk, a trapézon belül a két alap négyzetes közepe hosszúságú. Thumb
Az ábrán: x = a 2 + c 2 2 {\displaystyle x={\sqrt {{a^{2}+c^{2}} \over 2}}} {\displaystyle x={\sqrt {{a^{2}+c^{2}} \over 2}}}

Bizonyítás


Thumb
Az ábra úgy keletkezett, hogy a trapézt zsugorítottuk, pontosabban kivágtunk belőle egy a {\displaystyle a} {\displaystyle a} hosszúságú részt. Az ábrán lévő háromszögben felírom az oldalak arányát, melynek négyzete egyenlő a területek arányával, hisz a területek négyzetesen aránylanak egymáshoz. Tehát A T 1 T 2 {\displaystyle AT_{1}T_{2}} {\displaystyle AT_{1}T_{2}} és A D C {\displaystyle ADC} {\displaystyle ADC} háromszögekben az alapok aránya: c − a x − a {\displaystyle {c-a} \over {x-a}} {\displaystyle {c-a} \over {x-a}}. A területek aránya:
( c − a x − a ) 2 = ( c − a ) ( m 1 + m 2 ) ( x − a ) m 1 {\displaystyle {({{c-a} \over {x-a}})^{2}}={{(c-a)(m_{1}+m_{2})} \over {(x-a)m_{1}}}} {\displaystyle {({{c-a} \over {x-a}})^{2}}={{(c-a)(m_{1}+m_{2})} \over {(x-a)m_{1}}}}
Vagyis:
c − a x − a = m 1 + m 2 m 1 = 1 + m 2 m 1 {\displaystyle {{c-a} \over {x-a}}={{m_{1}+m_{2}} \over m_{1}}={1+{m_{2} \over m_{1}}}} {\displaystyle {{c-a} \over {x-a}}={{m_{1}+m_{2}} \over m_{1}}={1+{m_{2} \over m_{1}}}}
Innen:
m 2 m 1 = c − a x − a − 1 = c − a x − a − x − a x − a = c − x x − a {\displaystyle {m_{2} \over m_{1}}={{c-a} \over {x-a}}-1={{c-a} \over {x-a}}-{{x-a} \over {x-a}}={{c-x} \over {x-a}}} {\displaystyle {m_{2} \over m_{1}}={{c-a} \over {x-a}}-1={{c-a} \over {x-a}}-{{x-a} \over {x-a}}={{c-x} \over {x-a}}}
Megvan a magasságok aránya, írjuk fel a két kisebb trapéz területének arányát is:
m 1 ( a + x 2 ) m 2 ( x + c 2 ) = a + x x + c ⋅ m 1 m 2 = a + x x + c ⋅ x − a c − x = x 2 − a 2 c 2 − x 2 {\displaystyle {{m_{1}({{a+x} \over 2})} \over {m_{2}({{x+c} \over 2})}}={{{a+x} \over {x+c}}\cdot {m_{1} \over m_{2}}}={{{a+x} \over {x+c}}\cdot {{x-a} \over {c-x}}}={{x^{2}-a^{2}} \over {c^{2}-x^{2}}}} {\displaystyle {{m_{1}({{a+x} \over 2})} \over {m_{2}({{x+c} \over 2})}}={{{a+x} \over {x+c}}\cdot {m_{1} \over m_{2}}}={{{a+x} \over {x+c}}\cdot {{x-a} \over {c-x}}}={{x^{2}-a^{2}} \over {c^{2}-x^{2}}}}
Azt állítjuk, hogy a két terület egyenlő lesz, ez pedig úgy következik be, ha arányuk 1. Ekkor:
x 2 − a 2 c 2 − x 2 = 1 {\displaystyle {{x^{2}-a^{2}} \over {c^{2}-x^{2}}}=1} {\displaystyle {{x^{2}-a^{2}} \over {c^{2}-x^{2}}}=1}
x 2 − a 2 = c 2 − x 2 {\displaystyle {{x^{2}-a^{2}}={c^{2}-x^{2}}}} {\displaystyle {{x^{2}-a^{2}}={c^{2}-x^{2}}}}
x 2 + x 2 = a 2 + c 2 {\displaystyle {{x^{2}+x^{2}}={a^{2}+c^{2}}}} {\displaystyle {{x^{2}+x^{2}}={a^{2}+c^{2}}}}
2 x 2 = a 2 + c 2 {\displaystyle {2x^{2}={a^{2}+c^{2}}}} {\displaystyle {2x^{2}={a^{2}+c^{2}}}}
x = a 2 + c 2 2 {\displaystyle {x={\sqrt {{a^{2}+c^{2}} \over 2}}}} {\displaystyle {x={\sqrt {{a^{2}+c^{2}} \over 2}}}}
Vagyis ha a két trapéz területe egyenlő, vagyis két egyenlő területű trapézra vágtuk, akkor a szakasz hossza: x = a 2 + c 2 2 {\displaystyle {x={\sqrt {{a^{2}+c^{2}} \over 2}}}} {\displaystyle {x={\sqrt {{a^{2}+c^{2}} \over 2}}}}.

Mértani közép

Ha a trapézt két hasonló trapézra vágjuk, akkor annak a szakasznak a hossza, mellyel elvágtuk, a trapézon belül a két alap mértani közepe hosszúságú. Thumb
Az ábrán: x = a c {\displaystyle x={\sqrt {ac}}} {\displaystyle x={\sqrt {ac}}}

Bizonyítás


Két négyszög akkor hasonló, ha megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak, valamint a megfelelő oldalainak aránya is megegyezik. Két trapéz akkor hasonló, ha a megfelelő szögeik egyenlőek, valamint az alapjainak és magasságainak aránya megegyezik. Ha x = a c {\displaystyle x={\sqrt {ac}}} {\displaystyle x={\sqrt {ac}}}, akkor x 2 = a c {\displaystyle x^{2}=ac} {\displaystyle x^{2}=ac}.
x ⋅ x = a ⋅ c {\displaystyle x\cdot x=a\cdot c} {\displaystyle x\cdot x=a\cdot c}
a x = x c = a c {\displaystyle {a \over x}={x \over c}={\sqrt {a \over c}}} {\displaystyle {a \over x}={x \over c}={\sqrt {a \over c}}} Tehát a két kisebb trapéz alapjainak aránya a c {\displaystyle {\sqrt {ac}}} {\displaystyle {\sqrt {ac}}}. A magasságok aránya: m 1 m 2 = x − a c − x = a c {\displaystyle {m_{1} \over m_{2}}={{x-a} \over {c-x}}={\sqrt {a \over c}}} {\displaystyle {m_{1} \over m_{2}}={{x-a} \over {c-x}}={\sqrt {a \over c}}}. (x helyébe beírtuk a a c {\displaystyle {\sqrt {ac}}} {\displaystyle {\sqrt {ac}}}-t) Tehát a két trapéz alapjainak és magasságainak aránya megegyezik, méghozzá szögeik is egyenlőek a trapéz tulajdonságainak köszönhetően. Ekkor a területek aránya: m 1 ( a + x 2 ) m 2 ( x + c 2 ) = x 2 − a 2 c 2 − x 2 {\displaystyle {{m_{1}({{a+x} \over 2})} \over {m_{2}({{x+c} \over 2})}}={{x^{2}-a^{2}} \over {c^{2}-x^{2}}}} {\displaystyle {{m_{1}({{a+x} \over 2})} \over {m_{2}({{x+c} \over 2})}}={{x^{2}-a^{2}} \over {c^{2}-x^{2}}}} (az előző bizonyításból). Vagyis x 2 {\displaystyle x^{2}} {\displaystyle x^{2}} helyébe beírva a c {\displaystyle ac} {\displaystyle ac}-t: a c − a 2 c 2 − a c = a ( c − a ) c ( c − a ) = a c {\displaystyle {{ac-a^{2}} \over {c^{2}-ac}}={{a(c-a)} \over {c(c-a)}}={a \over c}} {\displaystyle {{ac-a^{2}} \over {c^{2}-ac}}={{a(c-a)} \over {c(c-a)}}={a \over c}} Így biztosan kijelenthetjük, hogy ha két hasonló trapézra vágtuk az eredetit, akkor a szakasz hossza a c {\displaystyle {\sqrt {ac}}} {\displaystyle {\sqrt {ac}}}.

Thumb
Az ábra magyarázata: A C {\displaystyle AC} {\displaystyle AC} felezőpontja O {\displaystyle O} {\displaystyle O}, ami az A C {\displaystyle AC} {\displaystyle AC} átmérőjű kör középpontja. D {\displaystyle D} {\displaystyle D} az O {\displaystyle O} {\displaystyle O}-ba állított merőleges és a kör metszéspontja. B E {\displaystyle BE} {\displaystyle BE} a kör érintője, ahol E {\displaystyle E} {\displaystyle E} az érintési pont. E {\displaystyle E} {\displaystyle E}-ből a A B {\displaystyle AB} {\displaystyle AB} egyenesre állított merőleges talppontja T {\displaystyle T} {\displaystyle T}.
Az ábrán szintén megjelennek a közepek, a következőképp: Ha A B {\displaystyle AB} {\displaystyle AB} szakasz hossza a {\displaystyle a} {\displaystyle a}, illetve B C {\displaystyle BC} {\displaystyle BC} szakaszé b {\displaystyle b} {\displaystyle b}, akkor B T {\displaystyle BT} {\displaystyle BT} szakasz hossza a {\displaystyle a} {\displaystyle a} és b {\displaystyle b} {\displaystyle b} harmonikus közepe, B E {\displaystyle BE} {\displaystyle BE} szakasz hossza a {\displaystyle a} {\displaystyle a} és b {\displaystyle b} {\displaystyle b} mértani közepe, O B {\displaystyle OB} {\displaystyle OB} szakasz a {\displaystyle a} {\displaystyle a} és b {\displaystyle b} {\displaystyle b} számtani közepe és B D {\displaystyle BD} {\displaystyle BD} a {\displaystyle a} {\displaystyle a} és b {\displaystyle b} {\displaystyle b} négyzetes közepe.
B T = 1 1 a + 1 b 2 = 2 a b a + b {\displaystyle BT={\frac {1}{\frac {{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}{2}}}={2ab \over a+b}} {\displaystyle BT={\frac {1}{\frac {{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}{2}}}={2ab \over a+b}}
B E = a b {\displaystyle BE={\sqrt {ab}}} {\displaystyle BE={\sqrt {ab}}}
O B = a + b 2 {\displaystyle OB={{a+b} \over 2}} {\displaystyle OB={{a+b} \over 2}}
B D = a 2 + b 2 2 {\displaystyle BD={\sqrt {{a^{2}+b^{2}} \over 2}}} {\displaystyle BD={\sqrt {{a^{2}+b^{2}} \over 2}}}

Bizonyítás

  • B E {\displaystyle BE} {\displaystyle BE}-ről könnyen belátható, hogy a b {\displaystyle {\sqrt {ab}}} {\displaystyle {\sqrt {ab}}} hosszú, hisz a B {\displaystyle B} {\displaystyle B} pont körre vonatkoztatott hatványa alapján a ⋅ b = B E ⋅ B E {\displaystyle a\cdot b=BE\cdot BE} {\displaystyle a\cdot b=BE\cdot BE}. Innen B E = a b {\displaystyle BE={\sqrt {ab}}} {\displaystyle BE={\sqrt {ab}}}.
  • O B {\displaystyle OB} {\displaystyle OB} hosszát kiszámíthatjuk az O C {\displaystyle OC} {\displaystyle OC} és C B {\displaystyle CB} {\displaystyle CB} összegeként. O B = O C + C B = a − b 2 + b = a + b 2 {\displaystyle OB=OC+CB={{a-b} \over 2}+b={{a+b} \over 2}} {\displaystyle OB=OC+CB={{a-b} \over 2}+b={{a+b} \over 2}}
  • B D {\displaystyle BD} {\displaystyle BD} hosszát könnyedén kiszámíthatjuk Az O B D {\displaystyle OBD} {\displaystyle OBD} háromszögben a Pitagorasz-tétel segítségével. D B 2 = O D 2 + O B 2 {\displaystyle DB^{2}=OD^{2}+OB^{2}} {\displaystyle DB^{2}=OD^{2}+OB^{2}}, vagyis D B = O D 2 + O B 2 = ( a + b 2 ) 2 + ( a − b 2 ) 2 = a 2 + b 2 2 {\displaystyle DB={\sqrt {OD^{2}+OB^{2}}}={\sqrt {({{a+b} \over 2})^{2}+({{a-b} \over 2})^{2}}}={\sqrt {{a^{2}+b^{2}} \over 2}}} {\displaystyle DB={\sqrt {OD^{2}+OB^{2}}}={\sqrt {({{a+b} \over 2})^{2}+({{a-b} \over 2})^{2}}}={\sqrt {{a^{2}+b^{2}} \over 2}}}
  • B T {\displaystyle BT} {\displaystyle BT} hossza a B T E {\displaystyle BTE} {\displaystyle BTE} háromszögből Befogótétellel kiszámítható. A tétel szerint E B = O B ⋅ T B {\displaystyle EB={\sqrt {OB\cdot TB}}} {\displaystyle EB={\sqrt {OB\cdot TB}}}. Innen T B = E B 2 O B = a b a + b 2 = 2 a b a + b {\displaystyle TB={{EB^{2}} \over {OB}}={{ab} \over {{a+b} \over 2}}={{2ab} \over {a+b}}} {\displaystyle TB={{EB^{2}} \over {OB}}={{ab} \over {{a+b} \over 2}}={{2ab} \over {a+b}}}
  • Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség
  • Számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség
  • Mértani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség
  • Definíciók
  • Geometriai szemléltetés (kör)
  • matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

A harmonikus közép

A mértani közép

A számtani közép

A négyzetes közép

A közepek közötti összefüggések

A közepek közötti összefüggések vizuálisan (trapéz)

A közepek közötti összefüggések vizuálisan (kör)

Kapcsolódó szócikkek

Források