ahol az integráció útvonala hurok a negatív tengely körül. Ezzel analitikusan folytathatós-ben.
A Hurwitz-féle zéta-függvény ezzel a folytatással meromorf, ami minden komplex számra definiálható, amire . Az helyen elsőrendű pólusa van, és reziduuma 1. A konstans term
A fent definiált függvény a Bernoulli-polinomok általánosítása:
ahol a z komplex szám valós része. Alternatívan
Speciálisan esetén:
Ha a Jacobi-féle théta-függvény, akkor
teljesül minden és komplex, de nem egész z esetén. Ha z=n egész, az összefüggés egyszerűsíthető:
ahol ζ a Riemann-féle zéta-függvény. Jegyezzük meg, hogy ez utóbbi forma függvényegyenlet a Riemann-féle zéta-függvényre, és ez Riemanntól származik. A különbség annak tulajdonítható, hogy a Jacobi-féle théta-függvény határértéke a Dirac-deltaz-ben, ha .
Racionális argumentumokra a Hurwitz-féle zéta-függvény kifejezhető Dirichlet-féle L-függvények lineáris kombinációjaként, és fordítva: A Hurwitz-féle zéta-függvény egyenlő a ζ(s) Riemann-féle zéta-függvénnyel ha q=1, ha q=1/2 akkor (2s−1)ζ(s),[4] és ha q=n/k ahol k>2, (n,k)>1 és 0<n<k, akkor[5]
és az összeg végigfut az összes Dirichlet-karakteren mod k. Megfordítva, tekintsük a következő lineáris kombinációt:[4]
Teljesül még a multiplikációs tétel:
ahol a hasznos általánosítás az eloszlás reláció[6]
(Ez utóbbi akkor teljesül, ha q természetes szám, és 1−qa nem.)
Ha q = 1, akkor éppen a Riemann-féle zéta-függvényt kapjuk vissza. Ha q = 1/2, akkor a Riemann-féle zéta-függvény és egy egyszerű függvény szorzatát kapjuk, ami nehézzé teszi a nullhelyek keresését. Ha 0<q<1 és q≠1/2, akkor minden pozitív &epsilon-hoz van gyök az 1<Re(s)<1+&epsilon sávban. Ezt Davenport és Heilbronn bizonyította transzcendens esetre,[7] és Casselsalgebraiirracionális esetre.[4][8]
A Hurwitz-féle zéta-függvénnyel több azonosság is levezethető a racionális számokra.[9] Az Euler-polinomok együtthatói:
A ν egész értékeire ezek kifejezhetők az Euler-polinomokkal. Ezek a relációkl megkaphatók a függvényegyenlet alkalmazásával a fenti Hurwitz-formulára.
A Hurwitz-féle zéta-függvény pozitív egész m-mel kapcsolódik a poligamma függvényhez:
Negatív egész −n számokra az értékek a Bernoulli-polinomokhoz kapcsolódnak:[10]
A Barnes-féle zéta-függvény a Hurwitz-féle zéta-függvény általánosítása.
A Lerch-transzcendens a Hurwitz-féle zéta-függvény általánosítása:
így
Hipergeometrikus függvény
ahol
Meijer-féle G-függvény
A Hurwitz-féle zéta-függvény több különböző tudományterületen felbukkan. Legtöbbször a számelmélet használja, itt jól kidolgozott elmélete van. Fraktálok, dinamikai rendszerek esetén is megjelenik. Az alkalmazott statisztikában kapcsolódik a Zipf-törvény, és a Zipf–Mandelbrot-törvény. A részecskefizikában Julian Schwinger egy képletében is megjelenik, hogy pontos eredményt adjon egy Dirac-elektron párképződésére uniform elektromos mezőben.
Vepstas, Linas (2007). "An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions". arXiv:math/0702243.
* Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN978-0-387-90163-3 (12. fejezet)
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN0-486-61272-4. (See Paragraph 6.4.10 for relationship to polygamma function.)
Davenport, Harold. Multiplicative number theory, Lectures in advanced mathematics.Chicago:Markham(1967)
(2010)„Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function”. Journal of Number Theory130, 360–369. o. DOI:10.1016/j.jnt.2009.08.005.
Ez a szócikk részben vagy egészben a Hurwitz zeta function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.