From Wikipedia, the free encyclopedia
A térgeometriában az ellipszoid olyan másodrendű felület, amelynek egyenlete alkalmasan orientált derékszögű koordináta-rendszerben
ahol a, b és c pozitív valós számok, amelyek meghatározzák az ellipszoid alakját. A speciális esetben az ellipszoid egy a sugarú, origó középpontú gömb. Ha a, b és c közül kettő egyenlő, akkor az ellipszoidot szferoidnak nevezzük.
Javasolt elnevezése a forgatás tengelyétől függően lapos, vagy lencseszferoid illetve hosszúkás, vagy orsószferoid.
A három koordinátasík szimmetriasíkja az ellipszoidnak, és minden nem üres síkmetszete ellipszis.
Az ellipszoid térfogatát a
képlet adja. Az ellipszoid felszíne általában nem fejezhető ki a, b és c elemi függvényeként.
Az általános ellipszoid felszíne nem fejezhető ki az olyan elemi függvényekkel, mint az arkusz tangens vagy az arkusz szinusz. A felszín Legendre nyomán az elliptikus integrálokkal írható le:
Jelöljük az ellipszoid tengelyeit úgy, hogy legyen. Ekkor
így az integrálok
Ezzel a felszín
Helyettesítsük be most k-t, -t,
az A egyenletbe. Ezzel
Knud Thomsen integrálmentes közelítő formulája:
Ez a képlet legfeljebb 1,2%-kal tér el a pontos felszíntől.
Egyre laposabb ellipszoidokat véve, ahol a felszínképlet a -hez tart. Ez az a és b tengelyű ellipszis területének kétszerese.
Legyen és legyen az egyenletű síkkal vett metszet numerikus excentricitása.
Ekkor a lapos, lencseszferoid felszíne (forgástengely = z-tengely)
és az orsószferoidé (forgástengely = x-tengely)
Legendre egyenletébe helyettesítve:
Legendre egyenletébe helyettesítve:
Jelölje a parametrikus szélességet, és a parametrikus hosszúságot. Ekkor az ellipszis a következőképpen paraméterezhető:
Gömbi koordinátákkal,
Ahogy a spektrálelméletből tudjuk, egy invertálható lineáris transzformáció a gömböt ellipszoidba viszi. Ha a lineáris transzformáció mátrixa szimmetrikus, akkor a mátrix sajátvektorai ortogonálisak, és megadják az ellipszoid tengelyeinek irányát. A féltengelyek hossza a sajátértékektől függ.
Ellipszoid és sík metszete vagy üres, vagy (egy esetleg egy pontú) ellipszis, ami kör is lehet.
A fentiek általánosíthatók magasabb dimenzióra is, ahol is a gömb képét nevezzük ellipszoidnak. A spektrálelmélet hasonló eredményeket ad.
A tyúktojás alakja két egymáshoz simított fél ellipszoiddal közelíthető, melyek forgástengelye közös. Az egyik lapos, vagy közel gömb, a másik hosszúkás. A tojás alak rendszerint az egyenlítőre vett szimmetria hiányára utal.[1]
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.