Vektorska analiza

Vektorska analiza je grana matematike koja proučava diferencijalni i integralni račun nad vektorskim poljima.

Najveću primjenu u matematici nalazi u diferencijalnoj geometriji i parcijalnim diferencijalnim jednadžbama, a od ostalih grana znanosti, najviše se koristi u fizici, posebno u elektrodinamici, mehanici fluida, gravitaciji i sl.

Ponekad se pojam vektorska analiza koristi kao sinonim za funkcije više varijabli, što nije ispravna bijekcija.

Vektorski operatori

Vektorska analiza koristi nekoliko temeljnih operatora, i proučava djelovanje tih operatora na funkcije, vektorska polja i sl.

Sve se te operacije mogu prikazati preko Hamiltonova operatora ${\displaystyle \nabla }$, što se izgovara kao [nabla]. U kartezijevu sustavu je definiran kao

${\displaystyle \nabla \equiv {\hat {\mathbf {x} }}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {\mathbf {y} }}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial }{\partial z}},}$

a definicija operatora ${\displaystyle \nabla }$ u zakrivljenim koordinatama malo je složenija.

Najjednostavnije operacije su:

Operacija	Notacija
Gradijent	${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}$
Rotacija	${\displaystyle \operatorname {rot} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }$
Divergencija	${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} }$
Laplasijan	${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}$

Najpoznatiji teoremi

U vektorskoj analizi postoje četiri najbitnija teorema:

Naziv	Izjava
Poopćena Newton-Leibnizova formula	${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{L}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} .}$
Greenov teorem	${\displaystyle \int _{C}\left(L\,dx+M\,dy\right)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA}$
Stokesov teorem	${\displaystyle \int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,}$
Gaussov teorem	${\displaystyle \iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} ,}$

Vezani pojmovi

• Vektorsko polje
• Tok polja
• Divergencija
• Rotacija
• Gradijent
• Vektorske operacije u zakrivljenim koordinatama