Radijvektor

Radijvektor, radijusvektor, radijus-vektor ili vektor položaja je vektor ${\displaystyle {\vec {r}}}$ kojemu je vrh u promatranoj točki P, a početak u nekoj nepomičnoj zadanoj točki O (polu), obično ishodištu nekoga koordinatnog sustava. Uz nepomični pol svaka je točka određena svojim radijvektorom, pa se piše ${\displaystyle \mathrm {P} ({\vec {r}})}$. Ako je pol u ishodištu Kartezijeva sustava, koordinate radijvektora točke upravo su Kartezijeve koordinate te točke.^[1]

Radijvektor ${\displaystyle {\vec {r}}}$ određuje položaj točke ${\displaystyle \mathrm {P} }$ u odnosu na pol ${\displaystyle \mathrm {O} }$. U Kartezijevom sustavu on se može prikazati pomoću projekcija točke na jedinične vektore osi ${\displaystyle {\hat {e}}_{x}}$, ${\displaystyle {\hat {e}}_{y}}$, ${\displaystyle {\hat {e}}_{z}}$ kao ${\displaystyle {\vec {r}}=x\,{\hat {e}}_{x}+y\,{\hat {e}}_{y}+z\,{\hat {e}}_{z}}$.

Formalno je svaki vektor klasa usmjerenih dužina koje se translacijom mogu dovesti jedna u drugu, što znači da imaju jednak smjer i duljinu, pa su radijvektori samo predstavnici svoje klase s početkom u odabranoj točki.

Primjena

U mehanici se jednadžbe gibanja čestica i tijela u prostoru iskazuju pomoću njihova vektora položaja ${\displaystyle {\vec {r}}}$ te njegovih derivacija,^[2] brzine

${\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\mathbf {r} }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {r}}}$

i ubrzanja

${\displaystyle {\vec {a}}={\ddot {\mathbf {r} }}={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}{\vec {r}}}$.

Ovdje podebljani simboli, jednako kao i strelice, označavaju vektore, a točke iznad simbola prvu i drugu derivaciju po vremenu.

U fizici se Newtonov zakon u slučajevima kada sila nema jednostavnu ovisnost o koordinatama često piše kao diferencijalna jednadžba

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}{\vec {r}}={\vec {F}}({\vec {r}},{\dot {\vec {r}}},t)}$

što je u Kartezijevom sustavu ekvivalentno trima jednadžbama za svaku od tri ortogonalne komponente radijvektora ${\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)}$ i sile ${\displaystyle {\vec {F}}=(F_{x},F_{y},F_{z})}$:

${\displaystyle m{\ddot {x}}=F_{x}(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}},t)}$

${\displaystyle m{\ddot {y}}=F_{y}(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}},t)}$

${\displaystyle m{\ddot {z}}=F_{z}(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}},t)}$.

Ovdje je općenito stavljeno da sila u svakom smjeru može ovisiti o svim koordinatama tijela te o svim komponentama njegove brzine.

Drugi Keplerov zakon

Podrobniji članak o temi: Drugi Keplerov zakon

Radijvektor (vektor položaja) Sunce-planet opisuje u jednakim vremenskim razmacima jednake površine (plava površina). Zelena strelica prikazuje brzinu (vektor brzine). Ljubičasta strelica usmjerena prema Suncu prikazuje ubrzanje (ostale dvije ljubičaste strelice su komponente ubrzanja, jedna okomita i druga paralelna s brzinom.

Drugi Keplerov zakon glasi:

Radijvektor Sunce-planet opisuje u jednakim vremenskim razmacima jednake površine.

${\displaystyle dv}$ je priraštaj kuta ${\displaystyle v}$ koji odgovara kratkom intervalu ${\displaystyle dt}$. Za to vrijeme radijvektor prebriše površinu:

${\displaystyle dp={\frac {r^{2}\,\pi }{2\,\pi }}\cdot dv={\frac {1}{2}}\,r^{2}\,dv}$

(${\displaystyle v}$ u radijanima), jer, s obzirom na to da je priraštaj ${\displaystyle dv}$ vrlo malen, može se površina isječka elipse smatrati površinom isječka kruga s polumjerom ${\displaystyle r}$. Tako proizlazi:

${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}={\frac {1}{2}}\,r^{2}\cdot {\frac {dv}{dt}}}$

Ova se veličina naziva površinskom brzinom. Prema drugom Keplerovu zakonu ona je konstantna pa se zakon može napisati kao

${\displaystyle r^{2}\cdot {\frac {dv}{dt}}=C}$.

Izvori

1. radijvektor ili radijusvektor, "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2015.
2. Richard Feynman. The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 11: Vectors (engleski). Pristupljeno 26. listopada 2020.