Niz

Općenito, niz možemo zamisliti kao objekte poredane po nekom pravilu, tako da uvijek znamo tko je prethodnik i sljedbenik svakog objekta u redu (osim eventualno prvog i zadnjeg).

Uzmimo za primjer razred od dvadeset učenika koji su poredani po abecednom redu. Za svakog od učenika znamo tko je "prije" njega (osim kod prvog), a tko "poslije" (osim kod zadnjeg). To možemo zamisliti kao da smo svakom od brojeva iz skupa ${\displaystyle \lbrace 1,2,3,...,20\rbrace }$ pridružili po jednog učenika.

Sličan primjer su dani u tjednu (brojevima od 1 do 7 pridruženi su prvi dan, drugi dan,...).

Matematička definicija niza

Takvi primjeri motiviraju matematičku definiciju niza: funkciju ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow S}$ zovemo niz u skupu S.

Dakle, niz je funkcija kojoj je domena skup prirodnih brojeva, a kodomena neki skup S. U prvom našem primjeru, skup S bi mogao biti {"Učenici razreda"}, a u drugom {"Dani u tjednu"}.

Niz se, umjesto uobičajene notacije ${\displaystyle f(n)=...}$, označava sa ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ili samo ${\displaystyle (a_{n})_{n}}$ ili ${\displaystyle (a_{n})}$.

Primjeri

Članovi niza zadanog sa ${\displaystyle f(n)={\frac {1}{n}}}$ izgledaju ovako: ${\displaystyle (a_{n})_{1}=1,\ (a_{n})_{2}={\frac {1}{2}},\ (a_{n})_{3}={\frac {1}{3}},\ (a_{n})_{4}={\frac {1}{4}},...}$

Primjećujemo da je brojnik uvijek jedan, a nazivnik su prirodni brojevi. Broju jedan je pridružen 1, broju dva 1/2, broju tri 1/3, i tako dalje. Zato kažemo da je npr. 1/16 šesnaesti član niza. Oznaka trotočje označava da je niz beskonačan.

Sama funkcija može biti definirana s više od jednog pravila. Primjer za takvu funkciju je:

${\displaystyle g(n):\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} _{0}}$

${\displaystyle g(n):={\begin{cases}n,&{\mbox{ako je }}n{\mbox{ neparan}}\\0,&{\mbox{ako je }}n{\mbox{ paran}}\end{cases}}}$

Ova funkcija također zadovoljava uvjete za niz jer joj je domena skup ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (kodomena je skup ${\displaystyle S=\mathbb {N} _{0}}$).

Članovi ovog niza izgledaju ovako: ${\displaystyle 1,0,3,0,5,0,7,0,9,0,...}$

Posebni nizovi

Posebno se često proučavaju aritmetički niz i geometrijski niz.

Konvergentni nizovi realnih brojeva

Niz ${\displaystyle a_{n}}$ realnih brojeva konvergira realnom broju ${\displaystyle a_{0}}$, ako za svako ${\displaystyle \epsilon >0}$ postoji prirodni broj ${\displaystyle n_{0}}$ takav da^{[1]:str. 67.}

${\displaystyle (n>n_{0})\implies (|a_{n}-a_{0}|<\epsilon )}$

Broj ${\displaystyle a_{0}}$ se naziva limes niza ${\displaystyle a_{n}}$. Kao primjer niz

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}}$

konvergira i limes niza je 0. Rastući i padajući nizovi se nazivaju monotonim nizovima. U matematičkoj analizi osnovni rezultat o nizovima je: svaki ograničen i monoton niz realnih brojeva je konvergentan.^[1]:69

Izvori

1. Kurepa, Svetozar, Matematička analiza 2 : funkcije jedne varijable, Tehnička knjiga, Zagreb, 1971.