Progib

Progib nosača je pomak težišta presjeka u smjeru okomitom na nedeformiranu os nosača (štapa). Kut zaokreta je kut za koji se neki presjek zaokrene u odnosu na svoj prvobitni položaj. Elastična linija nosača ili progibna linija nosača je uzdužna os štapa (težišna linija nosača) u deformiranom (savijenom) obliku. Najveća deformacija nosača ne smije biti veća od unaprijed zadane vrijednosti (uvjet krutosti). Poprečni presjeci pomiču se i istodobno zaokreću oko neutralne osi i pri tome ostaju okomiti na savijenu os štapa. Elastična linija ili progibna linija nosača je savijena (deformirana) uzdužna os nosača.^[1]

Prikaz elastične linije i progiba jednostavno opterećene grede.

Progib grede

Jednostavna greda sa silom u sredini

Jednostavna greda sa silom u sredini.

Elastični progib δ_C (u mm) u sredini jednostavne grede (točka C), koja je opterećena silom F u središtu, a nalazi se na 2 jednostavna oslonca, dat je izrazom:

${\displaystyle \delta _{C}={\frac {FL^{3}}{48EI}}}$

gdje je:

${\displaystyle F}$ = sila koja djeluje u sredini grede (N);

${\displaystyle L}$ = duljina između oslonaca (mm);

${\displaystyle E}$ = Youngov modul elastičnosti (N/mm²);

${\displaystyle I}$ = moment tromosti ili moment inercije (mm⁴).

Progib u bilo kojoj točki x, uzduž grede, koja je udaljena od jednog oslonca, može se izračunati koristeći jednakost:

${\displaystyle \delta _{x}={\frac {Fx}{48EI}}(3L^{2}-4x^{2})}$

za

${\displaystyle 0\leq x\leq {\frac {L}{2}}}$

Jednostavna greda sa silom koja nije sredini

Jednostavna greda sa silom koja nije sredini.

Najveći progib δ_max (u mm) jednostavne grede, koja je opterećena silom F koja nije u središtu, a nalazi se na 2 jednostavna oslonca, dat je izrazom:

${\displaystyle \delta _{max}={\frac {Fa(L^{2}-a^{2})^{3/2}}{9{\sqrt {3}}LEI}}}$

gdje je:

${\displaystyle F}$ = sila koja ne djeluje u sredini grede (N);

${\displaystyle L}$ = duljina između oslonaca (mm);

${\displaystyle E}$ = Youngov modul elastičnosti (N/mm²);

${\displaystyle I}$ = moment tromosti ili moment inercije (mm⁴);

${\displaystyle a}$ = udaljenost sile do najbližeg oslonca (vrijedi ${\displaystyle a\leq L/2}$) (mm);

Najveći progib se pojavljuje na udaljenosti ${\displaystyle x_{1}}$ od najbližeg oslonca:

${\displaystyle x_{1}={\sqrt {\frac {L^{2}-a^{2}}{3}}}}$

Jednostavna greda s kontinuiranim opterećenjem

Jednostavna greda s kontinuiranim opterećenjem (na primjer snijeg).

Elastični progib u sredini jednostavne grede (točka C), koja je opterećena kontinuiranim opterećenjem q (na primjer snijeg - u N/m), a nalazi se na 2 jednostavna oslonca, dat je izrazom:

${\displaystyle \delta _{C}={\frac {5qL^{4}}{384EI}}}$

gdje je:

${\displaystyle q}$ = kontinuirano opterećenje (u N/m);

${\displaystyle L}$ = duljina između oslonaca (mm);

${\displaystyle E}$ = Youngov modul elastičnosti (N/mm²);

${\displaystyle I}$ = moment tromosti ili moment inercije (mm⁴).

Progib u bilo kojoj točki ${\displaystyle x}$, uzduž kontinuirano opterećene grede je:

${\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx}{24EI}}(L^{3}-2Lx^{2}+x^{3})}$

Progib konzole

Prikaz konzole i elastične linije zbog savijanja.

Konzola je konstrukcijski element kojemu je jedan kraj ukliješten u zid (tako da tu nema progiba) ili u koji drugi dio konstrukcije, a drugi mu je kraj slobodan.

Konzola opterećena na slobodnom kraju

Konzola opterećena silom F na slobodnom kraju.

Elastični progib ${\displaystyle \delta }$ i kut zaokreta ${\displaystyle \phi }$ (u radijanima) na slobodnom kraju konzole B može se izračunati sa sljedećim izrazom:

${\displaystyle \delta _{B}={\frac {FL^{3}}{3EI}}}$

${\displaystyle \phi _{B}={\frac {FL^{2}}{2EI}}}$

gdje je:

${\displaystyle F}$ = sila koja djeluje na kraju konzole (N);

${\displaystyle L}$ = duljina konzole (mm);

${\displaystyle E}$ = Youngov modul elastičnosti (N/mm²);

${\displaystyle I}$ = moment tromosti ili moment inercije (mm⁴).

Treba zapaziti da ako se slobodni kraj konzole poveća za 2 puta, tada se progib poveća za 8 puta. Progib u bilo kojoj točki ${\displaystyle x}$, uzduž konzole, koja je opterećena na kraju može se izračunati sa sljedećim izrazom:

${\displaystyle \delta _{x}={\frac {Fx^{2}}{6EI}}(3L-x)}$

${\displaystyle \phi _{x}={\frac {Fx}{2EI}}(2L-x)}$

Kontinuirano opterećena konzola

Kontinuirano opterećena konzola.

Elastični progib i kut zaokreta, na slobodnom kraju B, kontinuirano opterećene konzole iznosi:

${\displaystyle \delta _{B}={\frac {qL^{4}}{8EI}}}$

${\displaystyle \phi _{B}={\frac {qL^{3}}{6EI}}}$

gdje je:

${\displaystyle q}$ = kontinuirano opterećenje nosača (N/m)

${\displaystyle L}$ = duljina konzole (mm);

${\displaystyle E}$ = Youngov modul elastičnosti (N/mm²);

${\displaystyle I}$ = moment tromosti ili moment inercije (mm⁴).

Progib u bilo kojoj točki ${\displaystyle x}$, uzduž konzole, koja je kontinuirano opterećena može se izračunati sa sljedećim izrazom:

${\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx^{2}}{24EI}}(6L^{2}-4Lx+x^{2})}$

${\displaystyle \phi _{x}={\frac {qx}{6EI}}(3L^{2}-3Lx+x^{2})}$^[2]

Izvori

1. "Strojarski priručnik", Bojan Kraut, Tehnička knjiga, Zagreb 2009.
2. Gere, James M.; Goodno, Barry J. Mechanics of Materials. Eighth izdanje. str. 1083–1087. ISBN 978-1-111-57773-5