Kompleksni broj
From Wikipedia, the free encyclopedia
Kompleksni brojevi su algebarski izrazi oblika , gdje su
i
realni brojevi, a
imaginarna jedinica koja ispunjava jednadžbu
.[1]
Zbrajanje, množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva zapisanih u obliku uređenih parova definira se formulama:
te analogno za oduzimanje i dijeljenje. Motivacija dolazi iz uobičajenih računskih operacija nad realnim brojevima.
U kompleksnom broju broj
se naziva realni dio, piše se
, a broj
je imaginarni dio, i piše se
.
Kompleksan broj čiji je realni dio jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.
Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi se u rješavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primjer, problema o prolazu struje kroz vodič, o profilu krila aviona itd. Kompleksni brojevi izniču u fizici zbog svoje geometrijske prirode (rotacije).
Ništa manje važna nije primjena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primjer, za određivanje korijena kubne jednadžbe potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Povijesno, kompleksni su brojevi uvedeni radi rješavanja kvadratne jednadžbe. Kvadratna ili bilo koja jednadžba višeg stupnja ako ima kompleksna rješenja, ta će rješenja uvijek doći u konjugiranim parovima - imaginarni dio im je suprotan. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povoda za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Leibnitz). Velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Euleru. Kompleksni broj se aksiomatski definira kao uređeni par realnih brojeva . Formule zbrajanja, množenja, dijeljenja se postuliraju ovako:
Par se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom
. Iz potonjih formula slijedi da je
. Operacije nad kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije nad kompleksnim brojevima pod radikalima (korijenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je