HR
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms

Klein-Gordonova jednadžba

From Wikipedia, the free encyclopedia

Klein-Gordonova jednadžba
DerivacijaBilješke

Klein–Gordonova jednadžba (Klein–Fock–Gordonova jednadžba ili ponekad Klein–Gordon–Fockova jednadžba) je relativistička verzija Schrödingerove jednadžbe. Također je kvantizirana verzija relativističke relacije energije s momentom. Rezultati jednadžbe su kvantno skalarno ili pseudoskalarno polje čiji su kvanti bez spina. Teorijski značaj jednadžbe jednak je značaju Diracove jednadžbe.[1] Elektromagnetske interakcije se mogu uvrstiti, što daje temu skalarne elektrodinamike, no kako su čestice bez spina, na primjer pi-mezoni, nestabilni i doživljavaju jake interakcije, praktična korisnost jednadžbe je ograničena.

Klein–Gordon jednadžba s parametrom mase m {\displaystyle m} {\displaystyle m} je

1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ψ − ∇ 2 ψ + m 2 c 2 ℏ 2 ψ = 0. {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.} {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.}

Rješenja jednadžbe su kompleksne funkcije  ψ ( t , x ) {\displaystyle \psi (t,\mathbf {x} )} {\displaystyle \psi (t,\mathbf {x} )} vremenske varijable t {\displaystyle t} {\displaystyle t} i prostornih varijabli x {\displaystyle \mathbf {x} } {\displaystyle \mathbf {x} }; Laplasov operator ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} {\displaystyle \nabla ^{2}} djeluje samo na prostorne varijable.

Jednadžba se često skraćuje na

( ◻ + μ 2 ) ψ = 0 , {\displaystyle (\Box +\mu ^{2})\psi =0,} {\displaystyle (\Box +\mu ^{2})\psi =0,}

gdje su μ = m c ℏ {\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hslash }}} {\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hslash }}} i ◻ {\displaystyle \Box } {\displaystyle \Box } d'Alembertovi operatori, definirani kao

◻ = − η μ ν ∂ μ ∂ ν = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 . {\displaystyle \Box =-\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}.} {\displaystyle \Box =-\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}.}

(Koristi se (−, +, +, +) metrički potpis.)

Klein–Gordonova jednadžba se najčešće zapisuje u prirodnim jedinicama:

− ∂ t 2 ψ + ∇ 2 ψ = m 2 ψ {\displaystyle -\partial _{t}^{2}\psi +\nabla ^{2}\psi =m^{2}\psi } {\displaystyle -\partial _{t}^{2}\psi +\nabla ^{2}\psi =m^{2}\psi }

Forma je određena time da rješenja zapisana kao ravninski valovi:

ψ = e − i ω t + i k ⋅ x = e i k μ x μ {\displaystyle \psi =e^{-i\omega t+ik\cdot x}=e^{ik_{\mu }x^{\mu }}} {\displaystyle \psi =e^{-i\omega t+ik\cdot x}=e^{ik_{\mu }x^{\mu }}}

poštuju relaciju energije i momenta sile specijalne teorije relativnosti:

− p μ p μ = E 2 − P 2 = ω 2 − k 2 = − k μ k μ = m 2 {\displaystyle -p_{\mu }p^{\mu }=E^{2}-P^{2}=\omega ^{2}-k^{2}=-k_{\mu }k^{\mu }=m^{2}} {\displaystyle -p_{\mu }p^{\mu }=E^{2}-P^{2}=\omega ^{2}-k^{2}=-k_{\mu }k^{\mu }=m^{2}}

Za razliku od Schrödingerove jednadžbe, Klein–Gordonova jednadžba priznaje dvije vrijednosti ω za svaki k, pozitivnu i negativnu. Samo razdiobom pozitivnih i negativnih dijelova frekvencije dobiva se jednadžba koja opisuje relativističku valnu funkciju. Za slučaj nezavisan o vremenu, Klein–Gordonova jednadžba postaje

[ ∇ 2 − m 2 c 2 ℏ 2 ] ψ ( r ) = 0 {\displaystyle \left[\nabla ^{2}-{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]\psi (\mathbf {r} )=0} {\displaystyle \left[\nabla ^{2}-{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]\psi (\mathbf {r} )=0}

te je formalno ista homogeno zapisanoj Poissonovoj jednadžbi.

Nerelativistička jednadžba energije slobodne čestice je

p 2 2 m = E . {\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}=E.} {\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}=E.}

Kvantizacijom se dobiva nerelativistička Schrödingerova jednadžba slobodne čestice,

p ^ 2 2 m ψ = E ^ ψ {\displaystyle {\frac {\mathbf {\hat {p}} ^{2}}{2m}}\psi ={\hat {E}}\psi } {\displaystyle {\frac {\mathbf {\hat {p}} ^{2}}{2m}}\psi ={\hat {E}}\psi }

gdje je

p ^ = − i ℏ ∇ {\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \mathbf {\nabla } } {\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \mathbf {\nabla } }

 Operator momenta (∇ je del-operator), a

E ^ = i ℏ ∂ ∂ t {\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\dfrac {\partial }{\partial t}}} {\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\dfrac {\partial }{\partial t}}}

je energetski operator.

Schrödingerova jednadžba nije relativistički kovarijantna, odn. ne uzima u obzir Einsteinovu posebnu relativnost.

Prirodno se koristi identitet posebne relativnosti koji opisuje energiju:

p 2 c 2 + m 2 c 4 = E {\displaystyle {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=E} {\displaystyle {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=E}

Tada se samo ubace kvantno-mehanički operatori za moment i energiju kako bi se dobila jednadžba

( − i ℏ ∇ ) 2 c 2 + m 2 c 4 ψ = i ℏ ∂ ∂ t ψ . {\displaystyle {\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi .} {\displaystyle {\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi .}

No, ovo je nepraktična jednadžba jer se diferencijalni operator ne može izračunati dok je pod korijenom.

Klein i Gordon su umjesto toga krenuli s kvadratom gornje jednadžbe:

p 2 c 2 + m 2 c 4 = E 2 {\displaystyle \mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=E^{2}} {\displaystyle \mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=E^{2}}

koja, kad se kvantizira, daje

( ( − i ℏ ∇ ) 2 c 2 + m 2 c 4 ) ψ = ( i ℏ ∂ ∂ t ) 2 ψ {\displaystyle \left((-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi =\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}\psi } {\displaystyle \left((-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi =\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}\psi }

što se može pojednostaviti na

− ℏ 2 c 2 ∇ 2 ψ + m 2 c 4 ψ = − ℏ 2 ∂ 2 ∂ t 2 ψ . {\displaystyle -\hbar ^{2}c^{2}\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +m^{2}c^{4}\psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi .} {\displaystyle -\hbar ^{2}c^{2}\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +m^{2}c^{4}\psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi .}

Preuređivanjem elemenata dobivamo

1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ψ − ∇ 2 ψ + m 2 c 2 ℏ 2 ψ = 0. {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.} {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.}

U jednadžbi nema imaginarnih brojeva, pa se može primijeniti u područjima koja imaju realne vrijednosti, kao i na ona sa imaginarnim vrijednostima.

  1. [1]
    Gross 1993
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

Derivacija

Bilješke