Funkcija identiteta

Funkcija identiteta (ili jednostavno identiteta) je matematička funkcija kojoj je svaka vrijednost jednaka pripadajućoj vrijednosti argumenta. Odnosno, vrijedi ${\displaystyle f(x)=x}$ za svaki ${\displaystyle x}$ iz domene funkcije ${\displaystyle f.}$ Uz taj uvjet, ako su skupovi ${\displaystyle A,B}$ redom domena i kodomena od ${\displaystyle f}$, treba istaknuti da je nužno da vrijedi i ${\displaystyle A=B}$ da bi funkcija bila identiteta.

Dakle identiteta je dana dvama uvjetima: mora biti ${\displaystyle x\mapsto x=f(x)}$ te ${\displaystyle f\colon A\to A}$.

Najpoznatiji primjer identitete je funkcija ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle x\mapsto x}$ na skupu realnih brojeva koja je u Kartezijevom koordinatnom sustavu predočena pravcem ${\displaystyle y=x}$. Taj je pravac simetrala I. i III. kvadranta.

Pravac y = x kao graf funkcije identitete na skupu realnih brojeva

Definicija

Ako je ${\displaystyle M}$ neki skup, funkcija identiteta ${\displaystyle f}$ na ${\displaystyle M}$ je definirana da bude takva funkcija s domenom i kodomenom ${\displaystyle M}$ koja zadovoljava

${\displaystyle f(x)=x}$ za svaki element ${\displaystyle x}$ u ${\displaystyle M}$.^[1]

Drugim riječima, funkcijska vrijednost ${\displaystyle f(x)}$ u ${\displaystyle M}$ (dakle u kodomeni) je uvijek jedna te ista ulazna vrijednost ${\displaystyle x}$ od ${\displaystyle M}$ (sada domena). Funkcija identiteta na ${\displaystyle M}$ je očito injektivna te surjektivna, pa je ona očito bijekcija.

Funkcija identiteta ${\displaystyle f}$ na ${\displaystyle M}$ nerijetko se označuje s ${\displaystyle {\text{id}}_{M}}$.

Izvori

1. Knapp, Anthony W. 2006. Basic algebra. Springer. ISBN 978-0-8176-3248-9