संख्यात्मक समाकलन

संख्यात्मक विश्लेषण में किसी निश्चित समाकल का संख्यात्मक मान निकालने की कलनविधियाँ संख्यात्मक समाकलन (numerical integration) के अन्तर्गत आतीं हैं। इसके वितार के रूप में, कभी-कभी अवकलल समीकरणों के संख्यात्मक हल को भी 'संख्यात्मक समाकलन' का नाम दे दिया जाता है।

संख्यात्मक समाकलन से आशय एक संख्यात्मक मान निकालने से है जो ${\displaystyle S}$ के सन्निकट हो।

संख्यात्मक समाकलन की मूल समस्या निम्नलिखित प्रकार के निश्चित समाकलों का सन्निकट संख्यात्मक हल निकालना है:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx}$

संख्यात्मक समाकलन का उपयोग आरम्भिक मान वाले अवकल समीकरणों के लिए भी प्रयुक्त होता है, अर्थात्

${\displaystyle y'(x)=f(x),\quad y(a)=0}$

दिए होने पर y(b) का मान निकालना भी समाकल निकालने के जैसा ही है।

यदि f(x) a, b के बीच किसी बिन्दु पर सिंगुलर न हो तथा समाकलन की सीमाएँ सीमित हों तो इसके संख्यात्मक समाकल का मान निकालने की बहुत सी विधियाँ मौजूद हैं। यदि समाकल की सीमाएँ सीमित न हों तो भी चर परिवर्तन (variable transformation) का उपयोग करके सीमाओं को सीमित किया जा सकता है और समाकल का संख्यात्मक मान निकाला जा सकता है। (नीचे देखें)

संख्यात्मक समाकल की आवश्यकता एवं महत्व

संख्यात्मक समाकल की आवश्यकता कई कारणों से पड़ती है। सबसे बड़ा कारण यह है कि बहुत से फलनों का वैश्लेषिक समाकल निकालना असम्भव है या बहुत कठिन है। इसके विपरीत संख्यात्मक समाकलन की विशेषता यह है कि एक ही कलन विधि से सभी प्रकार के फलनों का निश्चित समाकल निकाला जा सकता है जो कम्प्यूटर प्रोग्रामिंग की दृष्टि से अत्यन्त उपयुक्त है।

विधियाँ

आयत विधि या मध्यबिन्दु विधि

जितने अधिक आयत बनाए जाएंगे, संख्यात्मक समाकल का मान उतना ही अधिक शुद्ध होगा।

यह सबसे सरलीकृत विधि है। यह 'खुली विधि' कहलाती है क्योंकि इसमें सीमान्त बिन्दुओं [a,b] पर फलन के मान का उपयोग नहीं किया जाता है। ओपेन इसके अनुसार,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\sim (b-a)f(a)}$

आयत विधि से निश्चित समाकल का संख्यात्मक मान निकालना

समलम्ब चतुर्भुज विधि (ट्रैपीजॉयडल विधि)

यह एक 'बन्द विधि' है।

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\sim (b-a)f({\frac {a+b}{2}})}$

समलम्ब चतुर्भुज विधि (ट्रैपीजॉयडल विधि) से निश्चित समाकल का संख्यात्मक मान निकालना

सिम्प्सन की विधि

यह भी एक 'बन्द विधि' है।

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]}$.

सिंप्सन विधि से निश्चित समाकल का संख्यात्मक मान निकालना

उदाहरण

केसरिया रंग में रंगा हुआ क्षेत्र आयत विधि द्वारा फलन के निश्चित समाकल का सन्निकट मान दर्शा रहा है।

केसरिया रंग में रंगा हुआ क्षेत्र समलम्ब चतुर्भुज विधि द्वारा फलन के निश्चित समाकल का सन्निकट मान दर्शा रहा है

केसरिया रंग में रंगा हुआ क्षेत्र सिम्प्सन विधि द्वारा फलन के निश्चित समाकल का सन्निकट मान दर्शा रहा है

समाकल	यथार्थ मान	आयत विधि	ट्रैपीजॉयडल विधि	सिम्प्सन विधि
${\displaystyle \int _{0}^{1}e^{x}dx}$	${\displaystyle e-1\simeq 1,7183}$	${\displaystyle e^{({\frac {1+0}{2}})}\simeq 1,6487}$	${\displaystyle {\frac {1+e}{2}}\simeq 1,8591}$	${\displaystyle {\frac {1+4e^{1/2}+e}{6}}\simeq 1,7189}$
${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}dx}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\simeq 0,7854}$	${\displaystyle {\sqrt {1-0.5^{2}}}\simeq 0,8660}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}=0,5}$	${\displaystyle {\frac {1+4{\frac {\sqrt {3}}{2}}+0}{6}}\simeq 0,7440}$

^{[1] [2]}

अनन्त अन्तराल के लिए समाकल

यदि दिए हुए निश्चित समाकल का अवकाश अनन्त है या अर्ध-अनन्त है तो इसका संख्यात्मक मान निकालने के लिए मानक विधियों का सीधे प्रयोग नहीं किया जा सकता क्योंकि सम्बन्धित गणना भी अनन्त हो जाएगी।

इसके लिए कई विधियाँ मौजूद हैं। जब सम्पूर्ण वास्तविक रेखा पर समाकल निकालना हो तो इसके लिए गाउस-हर्माइट तकनीक उपयुक्त है। जब धनात्मक वास्तविक रेखा पर समाकल निकालना हो तो इसके लिए गाउस-लागुअर समाकल (Gauss-Laguerre quadrature) का प्रयोग किया जा सकता है।^[3]

चरों का परिवर्तन करके तथा अनन्त सीमाओं को सीमित सीमाओं में बदलकर निम्नलिखित प्रकार से समाकल निकाला जा सकता है।

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=\int _{-1}^{+1}f\left({\frac {t}{1-t^{2}}}\right){\frac {1+t^{2}}{(1-t^{2})^{2}}}\,dt,}$

अर्ध-अनन्त (semi-infinite) अवकाश के लिए निम्नलिखित चर-परिवर्तन उपयोगी है:

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx=\int _{0}^{1}f\left(a+{\frac {t}{1-t}}\right){\frac {dt}{(1-t)^{2}}}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx=\int _{0}^{1}f\left(a-{\frac {1-t}{t}}\right){\frac {dt}{t^{2}}}}$