תהליך סטוכסטי

תהליך סְטוֹכַסְטִי, או תהליך אקראי הוא תהליך שהתפתחותו תלויה בגורמים מקריים. כלומר, ממצב התחלתי נתון של המערכת – קיימים מספר מצבים שונים שאליהם יכולה המערכת להגיע (אומנם, מצבים מסוימים עשויים להתקבל בהסתברות גבוהה יותר ממצבים אחרים). זאת בניגוד לתהליך דטרמיניסטי שבו כל מצב התחלתי מסוים יתפתח בהכרח למצב מסוים נתון אחר.^[1]

תהליכים סטוכסטיים משמשים כמודלים למערכות מתחומים שונים; בין היתר: שוק ההון והשתנות שערי חליפין של מט"ח וניירות ערך בתחום הכלכלה; דיפוזיה, תנועה בראונית והילוך מקרי בפיזיקה; שינויים בגודלי אוכלוסיות; כמו גם תהליכים תוך-תאיים בביולוגיה ותגובות כימיות בכימיה.

בחקר הביצועים תהליכים סטוכסטים יכולים לתאר מערכות של תורים.

כלי מתמטי מרכזי, המשמש לתיאור תהליכים כאלו הוא שרשראות מרקוב.

תיאור מתמטי

תהליך סטוכסטי בדיד אינו אלא סדרה של משתנים מקריים, ${\displaystyle \ X_{1},X_{2},\dots }$. תהליך סטוכסטי רציף מתאים לכל פרמטר ${\displaystyle \ t\geq 0}$ משתנה ${\displaystyle \ X_{t}}$. באופן כללי יותר, אפשר להגדיר תהליך על כל קבוצת אינדקסים M והערך של כל ${\displaystyle \ X_{t}}$ יכול להיות במרחב נורמי כלשהו.

תהליכים סטוכסטיים יכולים לקיים תכונות רבות. למשל, אם האינדקסים מסודרים התהליך ייקרא עולה, אם לכל ${\displaystyle \ t'>t}$ מתקיים (בהסתברות 1) ${\displaystyle \ X_{t'}\geq X_{t}}$.

תהליך סטציונרי

תהליך סטוכסטי ייקרא סטציונרי, אם ההתפלגות המשותפת של כל רצף משני של משתנים אקראיים אינה משתנה לאחר הוספת קבוע מסוים לכל האינדקסים.

כלומר, בכתיב מתמטי: ${\displaystyle \ \forall n,k,\tau \ \in \ \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \ \forall x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\ \in X}$

${\displaystyle \mathbf {Pr} (X_{k}=x_{1},X_{k+1}=x_{2},\dots ,X_{k+n}=x_{n})=\mathbf {Pr} (X_{k+\tau }=x_{1},X_{k+1+\tau }=x_{2},\dots ,X_{k+n+\tau }=x_{n})}$

דוגמאות לשימוש במודלים סטוכסטיים

• הילוך מקרי ("מהלך שיכור") כמודל בדיד לתהליכי דיפוזיה ותהליכים אחרים.
• משוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות, כמו משוואת לנז'וון, המשמשת לתיאור תנועה בראונית. אחת התוצאות היסודיות בתחום זה היא הלמה של איטו.
• מודל תורים עושה שימוש בשרשראות מרקוב, שהן תהליך סטוכסטי למידול מספר האנשים הממתינים לשירות בתור.

ראו גם

• תהליך פואסון
• תהליך מורן
• מרטינגל
• שרשרת מרקוב

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא תהליך סטוכסטי בוויקישיתוף

• תהליך סטוכסטי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• תהליך סטוכסטי, באתר MathWorld (באנגלית)
• תהליכים אקראיים, דף שער בספרייה הלאומית

הערות שוליים

1. בהקשר זה, ראו מודל למערכת מצבים שכזו: אוטומט סופי דטרמיניסטי.