יחס ישר

יחס ישר בין שני משתנים מתקיים כאשר אחד מהם הוא כפולה של המשתנה השני בגודל קבוע. במצב כזה, מסמנים ${\displaystyle Y\propto X}$, ואומרים ש־Y מתכונתי (או: פרופורציונלי) ל־X.

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

באופן פורמלי יותר, קיים יחס ישר בין X ל-Y אם קיים מספר קבוע ${\displaystyle \ \lambda \in \mathbb {C} }$ שמקיים ${\displaystyle Y=\lambda X}$. במקרה כזה, ${\displaystyle \lambda }$ נקרא "גורם הפרופורציה".

יחס ישר בין שני משתנים נשמר גם כאשר שני המשתנים מוכפלים באותו מספר קבוע. יחס ישר הוא מקרה פרטי של יחס ליניארי, אשר יכול להכיל גם קבועים נוספים.

דוגמאות

• המרת יחידות: היחס בין אורכו של מוט במטרים לאורכו של אותו מוט בסנטימטרים הוא יחס ישר (עם זאת לא תמיד ההמרה בין יחידות היא יחס ישר, למשל בין מעלות קלווין ומעלות צלזיוס לא קיים יחס ישר).
• אם עיפרון עולה 5 שקלים אז 10 עפרונות יעלו 50 ו־20 יעלו מאה, כלומר בין המחיר הכולל ששולם לכמות העפרונות שנקנתה מתקיים יחס ישר. עם זאת, בכמויות גדולות נהוג לתת, או שניתן לבקש, הנחת כמות. בדוגמת העפרונות, ניתן להניח ש־1000 עפרונות יעלו פחות מ־5000 שקלים.
• בגאומטריה, היקף המעגל נמצא ביחס ישר לקוטרו, וגורם הפרופורציה הוא פאי: ${\displaystyle \pi }$.
• בתרמודינמיקה, האנרגיה הקינטית של גז אידיאלי פרופורציונית לטמפרטורה שלו: ${\displaystyle \ E_{\mbox{kin}}={\frac {3}{2}}k_{B}T}$.
• חוק אוהם: היחס בין המתח לזרם על נגד הוא יחס ישר וגורם הפרופורציה הוא R, התנגדות הנגד, כלומר: ${\displaystyle \ V=IR}$.
• במעגלי זרם חילופין (AC), בין הזרם למתח מתקיים הקשר ${\displaystyle \ V(t)=Z\cdot I(t)}$, כאשר ${\displaystyle Z}$ הוא מספר מרוכב, שנקרא העכבה של המעגל.

גורם פרופורציה מרוכב ביחס ישר בין שני משתנים ממשיים, מוסבר בעזרת התייחסות לשינוי של שניהם כפונקציה של משתנה אחר. בדוגמה של מעגלי זרם חילופין, ניתן לנתח את השינוי של הזרם והמתח בזמן באמצעות אנליזת פורייה. לכן, בלי הגבלת הכלליות, אפשר להניח שהזרם שגורם להספק אמיתי, הוא החלק הממשי של הפונקציה ${\displaystyle \ I(t)=I_{0}e^{i\omega t}}$ (כלומר: הזרם הוא אפס בנקודות הזמן בהן הפונקציה שוה ל ${\displaystyle \ 0+iI_{0}}$).

את המתח ניתן גם כן לכתוב כחלק הממשי של פונקציה מרוכבת. אם בין הזרם והמתח קיים הפרש מופע, ניתן לכתוב את היחס בין המתח לזרם בצורה ${\displaystyle \ V(t)=I_{0}re^{i(\omega t-\theta )}}$. למשל: כאשר המתח בשיאו ${\displaystyle (t=0)}$ הזרם נמוך מערך השיא, ויגיע אליו רק בזמן ${\displaystyle \ t=\theta /\omega }$.

בתיאור כזה, נאמר שגורם הפרופורציה בין הזרם למתח הוא המספר המרוכב ${\displaystyle \ Z=re^{i\theta }}$, כאשר ${\displaystyle r}$ ממשי ו-θ נמצאת בתחום ${\displaystyle -\pi \leq \theta <\pi }$.

ראו גם

• יחס (בין מספרים)
• יחס הפוך

קישורים חיצוניים

• יחס ישר, באתר MathWorld (באנגלית)
• יחס ישר, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)