פונקציונל

במתמטיקה, ובפרט באנליזה פונקציונלית, פונקציונל או פונקציונל ליניארי הוא העתקה ליניארית ממרחב נורמי אל שדה.

בעבר פונקציונל הוגדר כפונקציה שהתחום שלה הוא מרחב פונקציות, כלומר פונקציה שפועלת על פונקציות. הרקע להגדרה זו הוא המחקר המוקדם באנליזה פונקציונלית, שעסק במרחבי פונקציות. שימוש זה במונח "פונקציונל" עדיין נפוץ בפיזיקה ובמדעי המחשב. לאחר שאומצה גישה אקסיומטית כללית לאנליזה פונקציונלית ומרחבי פונקציות זוהו כמקרה פרטי של מרחבים נורמיים, המובן של פונקציונל הפך לכללי יותר.

הפונקציונלים החשובים ביותר הם כאלה המוגדרים מעל מרחב בנך, או אף מרחב הילברט, לתוך שדה המספרים הממשיים או השדה המרוכבים.

תכונות כלליות

נהוג לסמן את משפחת כל הפונקציונלים הליניאריים מעל מרחב נורמי ${\displaystyle \ X}$ על ידי ${\displaystyle \ X^{\#}}$. משפחת הפונקציונלים הליניאריים היא עצמה מרחב ליניארי ביחס לפעולות חיבור וכפל בסקלר נקודתיות. על מרחב זה קיים מבנה טבעי של מרחב נורמי ביחס ל"נורמה האופרטורית" המוגדרת על ידי

${\displaystyle \ \|\Phi \|=\sup _{x\neq 0}{\frac {|\Phi (x)|}{\|x\|}}=\sup _{\|x\|\leq 1}{|\Phi (x)|}}$

הנורמה יכולה להיות סופית או אינסופית, ובכל מקרה מתקיים ${\displaystyle \ |\Phi (x)|\leq \|\Phi \|\cdot \|x\|}$.

פונקציונל שהנורמה שלו סופית נקרא "פונקציונל חסום". יש להבחין כי אין זה אומר שתמונת הפונקציונל היא קבוצה חסומה במובן הרגיל. לא קשה לראות כי פונקציונל הוא חסום במובן זה שהנורמה שלו סופית, אם ורק אם הוא רציף.

את משפחת כל הפונקציונלים הליניאריים והחסומים על ${\displaystyle \ X}$ מסמנים ב-${\displaystyle \ X^{*}}$. אפילו אם ${\displaystyle X}$ עצמו אינו מרחב בנך, משפחה זו היא מרחב בנך המכונה "המרחב הדואלי" של ${\displaystyle \ X}$, והוא בעל חשיבות יסודית באנליזה פונקציונלית.

משפט ההצגה של ריס מסייע להבנת המבנה של המרחב הדואלי. למשפט כמה גרסאות, והיסודית שבהן קובעת כי מעל מרחב הילברט, כל הפונקציונלים החסומים הם מכפלה פנימית עם איבר. כלומר, אם ${\displaystyle \ f}$ הוא פונקציונל חסום מעל מרחב הילברט, אז קיים ${\displaystyle \ y}$ במרחב כך ש-${\displaystyle \ f(x)=\langle x,y\rangle }$. במקרה זה לא קשה לראות מאי שוויון קושי שוורץ כי ${\displaystyle \ \|f\|=\|y\|}$ (כאשר הנורמה משמאל היא נורמה אופרטורית והנורמה מימין היא הנורמה המתקבלת מהמכפלה הפנימית).

דוגמאות

באנליזה של מרחבי פונקציות, לרוב מרחבי Lp, פונקציונל הוא "פונקציה של פונקציות". כלומר, פונקציונל הוא פונקציה המקבלת פונקציה ומחזירה מספר (ממשי או מרוכב). דוגמה יסודית לפונקציונל רציף מעל למרחב ${\displaystyle L^{1}([0,1])}$ הוא ${\displaystyle \!\,I(f)=\int _{0}^{1}{f(x)\ dx}}$. זהו פונקציונל המקבל פונקציה ומחזיר את האינטגרל המסוים שלה. הנורמה האופרטורית של פונקציונל זה היא ${\displaystyle 1}$.

ראו גם

• טופולוגיה חלשה
• מצב (אנליזה פונקציונלית)

קישורים חיצוניים

• פונקציונל, באתר MathWorld (באנגלית)