טופולוגיה חלשה

טופולוגיה חלשה היא טופולוגיה שבה ה"מרחק" או ה"סביבות" מוגדרות באמצעות קבוצה של פונקציות רציפות על המרחב. נהוג להשתמש במונח זה כאשר מגדירים טופולוגיה שכזו על מרחב מטרי (ובפרט, מרחב בנך) שעליו קיימת כבר הטופולוגיה המטרית/הנורמית - שהיא טופולוגיה חזקה יותר.

הגדרה פורמלית

יהי ${\displaystyle X}$ מרחב נורמי ותהי ${\displaystyle \ F\subset C(X)}$ משפחה של פונקציות רציפות על ${\displaystyle X}$. הטופולוגיה החלשה המתאימה ל-${\displaystyle F}$ היא הטופולוגיה הגסה ביותר (כלומר: עם אוסף הקבוצות הפתוחות הקטן ביותר האפשרי) שביחס אליה כל הפונקציות של ${\displaystyle F}$ הן רציפות. תת בסיס טבעי לטופולוגיה חלשה הוא הבא: ${\displaystyle \ U\left(x_{0},f,\varepsilon \right)=\left\{x\in X\ \ |\ \ |f(x_{0})-f(x)|<\varepsilon \right\}}$ כאשר עוברים על כל הנקודות ${\displaystyle \ x_{0}\in X}$, על כל ${\displaystyle \ f\in F}$ ועל כל ${\displaystyle \,\varepsilon >0}$. כלומר, האוסף ${\displaystyle \ \mathbb {B} =\{U\left(x_{0},f,\varepsilon \right)|f\in F,\varepsilon >0,x_{0}\in X\}}$ הוא תת-בסיס לטופולוגיה החלשה המתאימה ל-${\displaystyle F}$.

תכונות

• אם המשפחה ${\displaystyle F}$ מפרידה נקודות (כלומר: לכל ${\displaystyle x,y\in X}$ יש ${\displaystyle f\in F}$ כך ש-${\displaystyle f(x)\neq f(y)}$) אזי הטופולוגיה החלשה היא האוסדורף.
• התכנסות: בטופולוגיה זו ${\displaystyle \ x_{n}\to x}$ אם ורק אם לכל ${\displaystyle \ f\in F}$ מתקיים ש-${\displaystyle \ f(x_{n})\to f(x)}$.
• משפט בנך-אלאוגלו: יהי ${\displaystyle X}$ מרחב בנך ונגדיר טופולוגיה חלשה מעל המרחב הדואלי ${\displaystyle \ X^{*}}$ על ידי ${\displaystyle \ w(X)}$ כאשר ${\displaystyle \ X\subset X^{**}}$ (כאן ${\displaystyle X}$ משחק בתפקיד של ${\displaystyle F}$ ואילו ${\displaystyle \ C(X)\subset X^{**}}$. אזי במרחב טופולוגי זה, הנקרא ${\displaystyle w*}$, מתקיים שכדור היחידה הוא קומפקטי.

ראו גם

• טופולוגיות אופרטוריות
• מרחב טיכונוף
• משפט טיכונוף
• אנליזה פונקציונלית

קישורים חיצוניים

• טופולוגיה חלשה, באתר MathWorld (באנגלית)