משולש ישר-זווית

משולש יְשַׁר-זווית הוא משולש בעל זווית ישרה.

המונח "יתר" מפנה לכאן. לערך העוסק בדמות מקראית, ראו יתר הישמעאלי.

משולש ישר-זווית

במשולש זה, שתי הצלעות שכולאות את הזווית הישרה נקראות ניצבים, והצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר.

משולש ישר-זווית הוא הבסיס לפונקציות הטריגונומטריות.

תכונות

• משולש ישר-זווית מקיים את משפט פיתגורס: סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.
• התיכון ליתר שווה למחצית מהיתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שוקיים.
• משולש ישר-זווית מקיים את משפט תאלס: אם משולש ישר-זווית חסום במעגל, אז היתר מתלכד עם קוטר המעגל, והתיכון ליתר הוא רדיוס במעגל החוסם.
• הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים למשולש המקורי (ולכן גם דומים זה לזה). מכאן נובע משפט אוקלידס - אורך הניצב הוא הממוצע הגאומטרי של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.
• ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר (תיכון היתר שווה למחציתו).
• כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני.
• הניצב מול זווית של 30 מעלות שווה למחצית היתר. משפט הפוך: אם ניצב שווה למחצית היתר - הזווית מולו שווה ל-30 מעלות.
• חוצה הזווית הישרה חוצה גם את הזווית שבין התיכון לגובה.

נוסחאות

אם הניצבים של המשולש הם ${\displaystyle \ a}$ ו-${\displaystyle \ b}$, היתר הוא ${\displaystyle \ c}$ והגובה ליתר הוא ${\displaystyle \ h}$, אז מתקיים:

${\displaystyle \ a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ (משפט פיתגורס)

וכן:

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{h^{2}}}}$

שטח המשולש הוא:

${\displaystyle {\text{Area}}={\frac {ab}{2}}={\frac {ch}{2}}}$

אם רדיוס המעגל החסום במשולש הוא ${\displaystyle \ r}$, אז מתקיים:

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}(a+b-c)={\frac {ab}{a+b+c}}}$

אם התיכונים לניצבים הם ${\displaystyle \ m_{a}}$ ו-${\displaystyle \ m_{b}}$ והתיכון ליתר הוא ${\displaystyle \ m_{c}}$, אז מתקיים:

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}}$

הגדרת פונקציות טריגונומטריות

ערך מורחב – פונקציות טריגונומטריות

את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 ל-90 מעלות (${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ רדיאנים), מגדירים כיחס בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית.

עבור זווית ${\displaystyle \alpha }$ הכלואה בין הניצב ${\displaystyle \ b}$ והיתר ${\displaystyle \ c}$ ומול הצלע ${\displaystyle \ a}$ מוגדר:

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}},\,\cos \alpha ={\frac {b}{c}},\,\tan \alpha ={\frac {a}{b}},\,\sec \alpha ={\frac {c}{b}},\,\cot \alpha ={\frac {b}{a}},\,\csc \alpha ={\frac {c}{a}}}$

עבור זווית כללית מגדירים באמצעות מעגל היחידה.

משולשים ישרי-זווית מיוחדים

משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30 מכונה לפעמים "משולש הזהב", ובו אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זה הוא חצי ממשולש שווה-צלעות. לעיתים השם "משולש הזהב" שמור למשולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, שכן היחס בין השוקיים לבסיס בו הוא יחס הזהב.

בעברית מקובל גם המושג "משולש כסף", למשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. הזוויות שלו הן: 45, 45, 90. היחס בין אורך היתר לאורך הניצב הוא שורש 2, שהוא ככל הנראה המספר האי-רציונלי הראשון שהתגלה.

שלשה פיתגורית

שלשה פיתגורית (או שלשה פיתגוראית) היא שלשה של מספרים טבעיים המקיימת את השוויון ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, המופיע במשפט פיתגורס. בהתאם למשפט ההפוך למשפט פיתגורס, משולש שצלעותיו מהוות שלשה פיתגורית הוא משולש ישר-זווית.

ראו גם

• המשולש הישר של פרמה

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: משולש ישר-זווית

• אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית, freewebs (בעברית)
• אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית, mathportal (באנגלית)
• משולש ישר-זווית, באתר MathWorld (באנגלית)