משוואת החום
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
משוואת החום (או משוואת הולכת החום וכן משוואת הדיפוזיה) היא משוואה דיפרנציאלית חלקית, המתארת את האופן שבו זורם חום בגוף מרחבי לאורך זמן. המשוואה הוצגה לראשונה על ידי ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה בתחילת המאה ה-19. המשוואה נקראת גם משוואת הדיפוזיה שכן היא מתארת באופן כללי פעפוע של חומר בזמן ובמרחב.
יש לשכתב ערך זה. הסיבה היא: כתוב כמו דף מספר לימוד, ללא הסבר אמיתי של המושג, חשיבותו ושימושיו. | |
כמשוואה דיפרנציאלית חלקית, ניתן להגדיר פונקציה או משטח ולו תנאי שפה ותנאי התחלה מתאימים, כלומר: מהם מקורות החום בזמן (תחילת התהליך) ומהם מקורות החום הקבועים על שפות הפונקציה. לאחר מכן, על ידי פתרון משוואת החום, ניתן לדעת מהו פילוג החום המתקבל בזמן עתידי כלשהו לפי הצורך.
לדוגמה, אם נרצה לתאר את פילוג החום עבור לוח בגודל אשר בצלעו הימנית נמצא מקור חום קבוע, וברגע בפינה השמאלית העליונה ישנו מקור חום נקודתי, ראשית נגדיר את המשטח . כעת נציב את תנאי השפה ואת תנאי ההתחלה כאשר הוא עצמת מקור החום הקבוע ו- היא פונקציית דלתא של דיראק. עם קבלת פתרון המשוואה, נוכל למשל לדעת מהו פילוג החום ברגעים , וכן הלאה.
בעוד שלמשוואת החום מקורות פיזיקליים, הצורה המתמטית של המשוואה היא בעלת יישומים בתחומים מדעיים מגוונים. בתורת ההסתברות, משוואת החום קשורה לתאוריה של הילוכים מקריים; מן המשוואה ניתן לקבל את ההתפתחות בזמן של פונקציית צפיפות ההסתברות המייצגת את מיקומו של חלקיק המהלך אקראית[1]. במתמטיקה פיננסית נעשה בה שימוש כדי לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית החלקית של מודל בלק ושולס. וריאנט של משוואת החום שימש אף ככלי מרכזי להוכחת השערת פואנקרה בטופולוגיה. משוואת החום היא דוגמה מיוחדת למשפחה של משוואות דיפרנציאליות, משוואות פרבוליות.