Loading AI tools
משוואה דיפרנציאלית שמערבת בתוכה פונקציות מרובות משתנים והנגזרות החלקיות שלהן מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, משוואה דיפרנציאלית חלקית (באנגלית: partial differential equation או PDE) היא משוואה הקושרת בין פונקציה בשני משתנים בלתי תלויים או יותר, לבין נגזרותיה החלקיות, כאשר הפונקציה היא הנעלם במשוואה. לעומתה, משוואה דיפרנציאלית רגילה קושרת בין פונקציה במשתנה יחיד לנגזרותיה.
דוגמה למשוואה דיפרנציאלית חלקית היא משוואת החום, שבה הפונקציה הנעלמת היא הטמפרטורה שתלויה בזמן ובמיקום. המשוואה קושרת בין קצב ההתחממות (נגזרת הטמפרטורה לפי הזמן) להפרשי הטמפרטורות (נגזרת הטמפרטורה לפי המיקום). דוגמה לבעיה המתוארת באמצעות משוואת החום היא בעיית זרימת חום במעבד עם צלעות קירור (ראו איור).
נגזרת חלקית של הפונקציה לפי המשתנה , תסומן כ- או .
באופן דומה נגזרת חלקית לפי ואחריו לפי , תסומן כ- או וכן הלאה.
המשוואה אינה מוגדרת היטב ללא תנאי שפה, כלומר ערך של הפונקציה הנעלמת על הגבול של המשתנים שלה. לדוגמה, משוואת החום בבעיית המעבד אינה פתירה ללא ידיעת הטמפרטורה בהתחלה והחום שמיוצר במעבד (ראו גם משפט קיום ויחידות בהמשך).
תנאי השפה מחולקים לשני סוגים עיקריים:
בנוסף ניתן לצרף אותם לסוגים חדשים של תנאי שפה:
בעיה מסוימת היא מוצגת היטב אם לבעיה קיים פתרון אמיתי יחיד והפתרון יציב: פתרון מוגדר כיציב כאשר שינוי קטן בתנאי התחלה גורם לשינוי קטן בפתרון.
בניסוח אחר: הפתרון יציב כאשר הוא תלוי באופן רציף בתנאים הנלווים לבעיה, כלומר ההפרש בין שני פתרונות כאלה יתכנס במידה שווה ל-0, כאשר השינוי בתנאי ההתחלה שואף ל-0.
לצורך קיום תנאים אלו, בנוסף למשוואה הדיפרנציאלית החלקית יש להגדיר תנאי שפה (ראו לעיל).
עבור סוגים מסוימים של משוואות דיפרנציאליות חלקיות ניתן לפתור באופן מתמטי מלא את המשוואה ולמצוא לה פתרון אנליטי (כלומר למצוא צורה פונקציונלית של הפתרון, ). שיטות עיקריות לפתרון אנליטי הן:
קיימים מקרים רבים בהם לא ניתן לפתור את הבעיה באופן אנליטי, למשל כאשר תנאי השפה הם מורכבים (למשל עבור בעיה של התפשטות קול בחדר מרובע, הוספת שולחן יוצרת בעיה שאינה פתירה באופן אנליטי). במקרים כאלו ניתן לפתור לרוב בשיטות נומריות שונות שלרוב נעזרות במחשב. בשיטות אלו מחלקים את המרחב לחלקים קטנים בהתאם לדיוק הרצוי, כך שבין אזורים אלו ההבדלים בערך הפונקציה הנעלמת קטנים.
תופעות פיזיקליות רבות מתוארות על ידי משוואות דיפרנציאליות חלקיות. הדוגמאות הנפוצות ביותר הן:
תופעות רבות בטבע ניתנות לתיאור על ידי משוואות ליניאריות עם נגזרות עד סדר שני, בהצגת המשוואות באופן הבא: . ניתן למיין משוואות אלו לפי ערך הביטוי : המשוואה היא מסוג היפרבולי כאשר הביטוי חיובי, מסוג פרבולי כאשר הביטוי מתאפס, ומסוג אליפטי כאשר הביטוי שלילי. סיבת חלוקה שכזו מובנת כאשר הם קבועים, ו- : במקרה זה תמיד ישנו הפתרון , וכאשר נציבו במשוואה, נקבל את הקשר , ומגאומטריה אנליטית ידוע שזהו למעשה משטח קוני במשתנים אשר סוג חתכיו (הפרבולי, פרבולי, אליפטי) נקבעים על ידי הביטוי .
פתרון נקרא פתרון אמיתי אם הוא גזיר עד סדר המשוואה ומקיים את תנאי ההתחלה. כל פתרון אחר יקרא פתרון מוכלל.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.