ממוצע גאומטרי

ממוצע גאומטרי (ממוצע הנדסי) הוא סוג של ממוצע המהווה מדד מרכז לקבוצה סופית של מספרים ממשיים חיוביים. בהינתן סדרת מספרים ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots x_{n}\,}$ הממוצע הגאומטרי מוגדר כשורש ה-${\displaystyle n}$ של מכפלת איברי הסדרה,^[1]

$${\displaystyle {\bar {x}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dotsb x_{n}}}}$$לחלופין ניתן להציג את הממוצע הגאומטרי באמצעות הממוצע החשבוני של הלוגריתם של הסדרה$${\displaystyle {\bar {x}}=\exp({1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\ln {x_{i}})}$$

תכונות

פרט לתכונות הכלליות שיש לו מעצם היותו סוג של ממוצע, לממוצע גאומטרי מספר תכונות ייחודיות:

• מכפלתה של סדרת מספרים אינה משתנה אם מחליפים כל אחד מהמספרים בסדרה בממוצע הגאומטרי של הסדרה.
• לכל סדרת מספרים מספרים, הממוצע הגאומטרי קטן מהממוצע החשבוני שלה, אלא אם כן כל המספרים בסדרה שווים, ובמקרה זה הממוצע החשבוני והממוצע הגאומטרי שווים.^[2]
• המנה של הממוצעים הגאומטריים של שתי סדרות באותו אורך, שווה לממוצע הגאומטרי של סדרת המנות של איברי שתי הסדרות.
• המכפלה של הממוצעים הגאומטריים של שתי סדרות באותו אורך, שווה לממוצע הגאומטרי של סדרת המכפלות של אברי שתי הסדרות.
• הממוצע הגאומטרי הוא מקרה פרטי של ממוצע מוכלל. הממוצע הגאומטרי מתקבל כאשר הפרמטר ${\displaystyle p}$ בהגדרת הממוצע המשוכלל שואף לאפס. לחישוב הגבול ניתן להשתמש בכלל לופיטל$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{p\to 0}\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}=&\exp \left(\lim _{p\to 0}{\frac {1}{p}}\ln {\biggl (}{\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}}{n}}{\biggr )}\right)\\=&\exp \left({\biggl (}{\frac {\sum _{i=1}^{n}\ln(x_{i})}{n}}{\biggr )}\right)={\bar {x}}\end{aligned}}}$$

שימוש

ממוצע גאומטרי שימושי עבור סדרות של ערכים שבהם יש משמעות למכפלת הערכים ולא לחיבור ביניהם. לדוגמה:

• חישוב תשואה ממוצעת רב שנתית על השקעות: הממוצע הגאומטרי מספק תמונה מדויקת של התשואה הממוצעת, כיוון שהוא לוקח בחשבון את ההיבט הכפלי של התשואות השנתיות.^[3] כדוגמה, נניח שלאורך 4 שנים התשואות היו 10%, 150%, 30%- ו 10%. ההחזר על השקעה של 100 ש"ח הוא ${\displaystyle 100\times 1.10\times 2.5\times 0.7\times 1.1=211.75}$. התוצאה הזו שקולה לתשואה שנתית ממוצעת של 20.6%, שמתקבלת באמצעות ממוצע גאומטרי. ממוצע זה נמוך בהרבה מהממוצע החשבוני של סדרה זו – 35%.
• קצב גידול אוכלוסייה: לחישוב של קצב הגידול הממוצע באוכלוסייה בתקופה מסוימת משתמשים בממוצע גאומטרי ולא בממוצע חשבוני.^[4]

ממוצע גאומטרי של פונקציה רציפה

אם ${\displaystyle f:[a,b]\to (0,\infty )}$ היא פונקציה ממשית רציפה, הממוצע הגאומטרי שלה בתחום הוא

${\displaystyle {\overline {f}}=\exp \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln f(x)dx\right)}$

כדוגמה, הממוצע הגאומטרי של הפונקציית הזהות ${\displaystyle f(x)=x}$ בקטע ${\displaystyle [0:1]}$הוא ${\displaystyle e^{-1}}$.

ראו גם

• אי שוויון הממוצעים
• מדד מיקום מרכזי
• ממוצע הרמוני
• ממוצע חשבוני
• ממוצע מוכלל

קישורים חיצוניים

• ממוצע גאומטרי, באתר MathWorld (באנגלית)