Loading AI tools
מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בטופולוגיה, מֶטְרִיקָה (נקראת גם פונקציית מרחק) היא פונקציה המתאימה לכל זוג נקודות במרחב מספר אי-שלילי, ומקיימת כמה תנאים פשוטים. בזכות תנאים אלה, אפשר לראות במטריקה הכללה של מושג המרחק מהמרחב האוקלידי למרחב כלשהו.
מטריקה היא הגדרה כוללת יותר של מושג המרחק. מושג המרחק מוגדר בגאומטריה האוקלידית, ה"פשוטה". כללי המטריקה (להלן) מאפשרים להגדיר ערך המציית לאותם חוקים כלליים במרחבים שאינם אוקלידיים. שלוש התכונות הנדרשות מכל מטריקה הן:
תהא קבוצה כלשהי. פונקציה תיקרא מטריקה כאשר היא מקיימת את שלוש התכונות הבאות עבור כל :
נובע מכך ש- (אי שליליות) שהרי מהאקסיומות מתקיים
.
קבוצה יחד עם הפונקציה נקראת מרחב מטרי, והוא יסומן על ידי הזוג .
אם מחליפים את אי-שוויון המשולש בדרישה החזקה יותר ש-, המטריקה נקראת מטריקה לא ארכימדית. במרחב עם מטריקה לא ארכימדית כל משולש הוא שווה-שוקיים.
לעומת זאת, המרחק בין שתי נקודות במפה על-פי אורך הדרך שיש לנסוע כדי להגיע מאחת לשנייה אינו מטריקה, עקב קיומם של כבישים חד סיטריים, שגורמים למצבים שבהם .
שתי מטריקות על אותו מרחב הן שקולות אם הן מגדירות את אותה טופולוגיה מטרית. ניתן להראות ששתי מטריקות הן שקולות אם ורק אם כל כדור פתוח ביחס למטריקה אחת, מכיל כדור פתוח בעל אותו המרכז ביחס למטריקה האחרת. מכיוון שהטופולוגיה של מרחב מטרי נקבעת על ידי התכנסות של סדרות, שתי מטריקות הן שקולות אם ורק אם כל סדרה מתכנסת ביחס לאחת מהן, מתכנסת גם ביחס לשנייה. עם זאת, המושג של סדרת קושי, התלוי במטריקה, אינו נשמר תחת שקילות (לדוגמה, המטריקה על הקטע שקולה למטריקה הרגילה שם, אבל הסדרה , שאינה מתכנסת, היא סדרת קושי לפי המטריקה הרגילה, אבל לא לפי ).
כל שתי נורמות על המרחב שקולות (כמטריקות), ולכן יש למרחב הזה טופולוגיה נורמית אחת ויחידה.
בגאומטריה דיפרנציאלית ואנליזה על יריעות המונח "מטריקה" משמש כדי לציין את הטנזור המטרי המוגדר מעל יריעה חלקה , זהו שדה טנזורי המתאים לכל נקודה במרחב טנזור. הטנזור הזה מייצג בעצם את המטריקה הלוקלית של מרחק אינפיניטסימלי בין שתי נקודת במרחק של הנקודה. כלומר, אלמנט האורך האיפיניטסימלי נתון על ידי
כאשר רצים על האינדקסים של וקטורי הבסיס בנקודה .
כדי לקבל את המרחק בין שתי נקודת כלשהן, ו-, יש לבצע אינטגרציה על אלמנט האורך האינפיניטסימלי. כלומר, אנו מגדירים מטריקה חדשה על ידי
כאשר הוא פרמטר של עקומה גיאודזית המחברת בין ל- ואת יש לפרש כטנזור המטרי בנקודה והאינטגרציה מתבצעת כאינטגרל מסלולי לאורך עקומה זו.
בתורת היחסות מוגדר מרחב-זמן, הנקרא גם מרחב מינקובסקי.
בתורת היחסות הפרטית, מותאם למרחב-זמן מרחק בריבוע, המוגדר על ידי:
כאשר הם המרחקים במרחב האוקלידי התלת-ממדי, הוא הפרש הזמנים (המרחק בציר הזמן) ו- היא מהירות האור. במקרה זה, המרחק בריבוע יכול להיות גם אפס או שלילי, בניגוד לחלק מהדרישות על מטריקה. על כן, אומרים שהמטריקה בתורת היחסות הפרטית היא מטריקה מוכללת, ומהווה הרחבה של מושג המטריקה הקלאסי.
בתורת היחסות הכללית, המטריקה היא באופן כללי טנזור מטרי (מוכלל), והיא מהווה פתרון של משוואות איינשטיין. דוגמה בעלת חשיבות היסטורית היא מטריקת שוורצשילד, המתארת את עקמומיות המרחב סביב כוכב כדורי מסיבי, בפרט סביב חור שחור. בעזרת מטריקה זו, הצליחו מדענים לאשש את תורת היחסות הכללית.[דרוש מקור]
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.