מאורע

בתורת ההסתברות, מאורע הוא מצב שניתן לייחס לו הסתברות. באופן פורמלי יותר, מאורע הוא קבוצה השייכת לסיגמא-אלגברה שעליה מוגדרת מידת הסתברות.

ערך זה עוסק במושג בתורת ההסתברות. אם התכוונתם לנקודה במרחב-זמן, ראו 4-וקטור; אם התכוונתם להתרחשות מציאותית מוגדרת, ראו אירוע.

הגדרה פורמלית

בהינתן מרחב הסתברות ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )}$, קבוצה ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$ נקראת מאורע. קבוצת כל המאורעות ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ היא סיגמא-אלגברה, ולעיתים מכונה "שדה המאורעות".

לפי אקסיומות ההסתברות, לכל מאורע ${\displaystyle E}$ מתקיים ${\displaystyle 0\leq \Pr(E)\leq 1}$.

דוגמה

נבחן את המקרה של הטלת קובייה הוגנת. מרחב המדגם של הטלת קובייה הוא המרחב האחיד ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$. כל תת-קבוצה של קבוצה זו הוא מאורע. בעזרת העובדה שלכל תוצאה סיכוי של ${\displaystyle 1/6}$ להתקבל ובזכות הסיגמא-אדיטיביות של פונקציית ההסתברות נוכל לחשב את ההסתברות לכל מאורע:

• המאורע "תוצאת ההטלה היא ${\displaystyle 6}$" הוא הקבוצה ${\displaystyle \{6\}}$ וההסתברות שלו היא ${\displaystyle 1/6}$.
• המאורע "תוצאת ההטלה זוגית" הוא הקבוצה ${\displaystyle \{2,4,6\}}$ וההסתברות שלו היא ${\displaystyle 1/2}$.
• המאורע "תוצאת ההטלה היא ${\displaystyle 7}$" הוא הקבוצה הריקה (כי ${\displaystyle 7}$ אינו במרחב מדגם) וההסתברות שלו היא ${\displaystyle 0}$.
• המאורע "תוצאת ההטלה היא מספר" הוא הקבוצה ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$ שהיא מרחב המדגם כולו וההסתברות שלו היא ${\displaystyle 1}$.

תכונות

כאשר מרחב המדגם הוא בדיד (דיסקרטי), כלומר הוא סופי או בן מנייה, מספיק להגדיר את ההסתברות לכל מאורע פשוט, דהיינו לכל יחידון במרחב המדגם, כדי להגדיר את ההסתברות של כל תת-קבוצה של מרחב המדגם. על כן במרחב שכזה ניתן להגדיר את שדה המאורעות להיות קבוצת החזקה של מרחב המדגם. לעומת זאת, במרחבים אחרים כגון הישר הממשי לא תיתכן מידת הסתברות המוגדרת לכל תת-קבוצה של המרחב, ולכן ביחס למידת הסתברות נתונה, לא כל תת-קבוצה היא מאורע.

לכל מאורע ${\displaystyle E}$ קיים מאורע משלים ${\displaystyle E^{c}}$ שהוא קבוצת המשלים של המאורע ביחס למרחב המדגם. מהגדרת פונקציית ההסתברות נובע כי ${\displaystyle \Pr(E^{c})=1-\Pr(E)}$.

זוג מאורעות ${\displaystyle A,B}$ נקראים בלתי תלויים ביחס למידת הסתברות נתונה, אם מתקיים ${\displaystyle \Pr(A\cap B)=\Pr(A)\cdot \Pr(B)}$. המשמעות היא שהתרחשות אחד איננה משפיעה על התרחשות השני. אם השוויון לא מתקיים המאורעות נקראים תלויים.

בהינתן שני מאורעות ${\displaystyle A,B}$ כאשר ${\displaystyle B}$ מאורע לא זניח (${\displaystyle \Pr(B)>0}$), ניתן להגדיר את ההסתברות המותנית ${\displaystyle \Pr(A\mid B)={\frac {\Pr(A\cap B)}{\Pr(B)}}}$. הסתברות זו משקפת את הסיכוי שמאורע ${\displaystyle A}$ יתרחש בהינתן ש-${\displaystyle B}$ התרחש.

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: הסתברות/מבוא/המודל ההסתברותי
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: מאורע

• מאורע, באתר MathWorld (באנגלית)