חישוב בעל-פה

חישוב בראש או חישוב ללא מחשבון הוא עריכת חישובים מתמטיים באמצעות המוח בלבד, ללא הסתייעות בכלי עזר כמחשבונים או עט ונייר. השימוש בחישוב בראש נעשה במצבים שבהם אין כלי חישוב בסביבה או כשיותר מהיר וקל לחשב באופן זה. לרוב, החישוב מתבצע בעזרת שיטות ספציפיות המותאמות לכל בעיה בנפרד.

היכולת לחישוב בראש שונה מאדם לאדם. יש שיעדיפו כלי עזר כבר בחישובים פשוטים למדי, ולעומתם יש שנודעו ביכולתם לערוך בראש חישובים מורכבים. במחצית המאה ה-20 פיתח המתמטיקאי היהודי יעקב טרכטנברג את "שיטת טרכטנברג" לחישובים בראש.

שיטות חישוב

חישוב ריבוע של מספר דו-ספרתי

החישוב הפשוט של כל מספר בריבוע הוא:a²=(a+d) (a-d)+ d²

כאשר d הוא המספר הכי קטן שמאפשר להפוך את a לכפולה שלמה של 10. ננסה את השיטה עם המספר 63. ננסה להגיע מ-63 למספר שהוא כפולה של 10. במקרה שלנו 60 (ולא 70 כי המרחק הקצר יותר הוא 3.) אם כן, d אצלנו הוא 3. נחשב את המשוואה הבאה:

63² =(63+3)(63-3)+3² =60*66+ 9

כעת נותר לחשב 66*60:

60*66=3600+360=3960

ולכן

63² =3960+9=3969

והתוצאה היא 3969.

העלמת הספרה תשע

לאחר ביצוע פעולת חשבון בשני מספרים (איברים) וקבלת התוצאה, ניתן להשתמש בדרך זו כדי לוודא כי התוצאה נכונה.

1. מנה את ערך הספרות של האיבר הראשון; כל ספרת תשע (או רצף של ספרות שמצטרפות לתשע) יכולה להיספר כ-0.
2. אם לתוצאת החישוב יש שתי ספרות או יותר, חזור על השלב הראשון ומנה את ערך הספרות של מספר זה; חזור על צעד זה עד שתתקבל תוצאה בעלת ספרה אחת בלבד.
3. חזור על השלבים הנ"ל גם עבור האיבר השני (המספר השני). כעת יש לך שני מספרים שכל אחד מהם בעל ספרה אחת, האחד התקבל מהאיבר הראשון והשני התקבל מהאיבר השני. (מספרים אלה הם גם השארית שהיית מקבל לו חילקת את המספרים המקוריים ב-9; מתמטית, מספרים אלו הם המודולו 9 המקוריים).
4. בצע את פעולת החשבון המקורית (זו שבחרת לעשות עבור שני המספרים המקוריים) עבור שני המספרים החדשים שקיבלת, וכעת בצע את פעולת המנייה של ערכי הספרות לתוצאה.
5. מנה את סכום הספרות של החישוב המקורי שעשית בעצמך לתרגיל.
6. אם התוצאה של שלב 4 לא שווה לתוצאה של שלב 5, התשובה שהגעת אליה שגויה. אם המספרים זהים, התשובה נכונה.

לדוגמה:

• נאמר לנו שהחישוב 6338 × 79 שווה לתוצאה 500702

1. נמנה את ערכי הספרות של 6338: (6 + 3 = 9, ולכן נספרו כ- 0) + 3 + 8 = 11
2. חזרה על הפעולה בהתאם לצורך: 1 + 1 = 2
3. נמנה את ערכי הספרות של 79: 7 + (9 נספר כ- 0) = 7
4. ביצוע פעולת החשבון המקורית על שני המספרים, ולאחר מכן מניית הספרות: 2 × 7 = 14; 1 + 4 = 5
5. מניית הספרות של 500702: 5 + 0 + 0 + (7 + 0 + 2 = 9, ולכן נספרו כ- 0) = 5
6. 5 = 5, יש התאמה, התשובה נכונה ואכן 6338 × 79 שווה ל-500702.

באפשרותך להשתמש בשיטה זו עם יותר משני מספרים. כדי לעשות זאת, יש לחזור על השלבים הראשון והשני עבור כל איבר.

הערכה בקירוב

כאשר ברצוננו לבדוק חישוב שבוצע בראש, לרוב כדאי לבצע זאת בעזרת שימוש בקנה מידה קרוב. לדוגמה, כאשר מדובר במספרים גדולים, למשל 1531 × 19625, ההערכה תאפשר לך לדעת מהו מספר הספרות הצפוי לתוצאה הסופית. דרך יעילה לבצע זאת היא לעגל את המספרים. המספר 1531 קרוב ל-1500, והמספר 19625 קרוב ל-20000, ולכן תוצאה בסביבות 20000 × 1500 (30000000) תהיה אומדן טוב לתוצאה האמיתית (30045875). אם בתוצאה שקיבלתם יש יותר מדי ספרות, תוכלו לדעת שעשיתם טעות בחישוב.

גורמים

כאשר כופלים בין שני מספרים (גורמים), כדאי לזכור שהגורמים של המכפלה מוכרחים להתקיים בתוכה. לדוגמה, הטענה שתוצאת המכפלה 14 × 15 היא 211 אינה סבירה. מכיוון שהמספר 15 מורכב מ-5, הוא חייב להיכנס בתוצאה בשלמותו. התשובה הנכונה היא 210.

חישוב הפרש: a − b

חישוב ישיר

כאשר כל הספרות של "b" קטנות מהספרות המקבילות של "a", החישוב יכול להתבצע ספרה אחר ספרה. לדוגמה, ניתן לחשב את ההפרש 872 − 41 פשוט על ידי חיסור 1 מ-2 במיקום ספרת האחדות, וחיסור של 4 מ-7 במיקום ספרת העשרות: 831.

חישוב עקיף

כאשר המצב הנ"ל לא מתקיים, הקושי עשוי להשתנות:

• אם רק ספרה אחת של המספר "b" גדולה מהספרה המקבילה של "a", עלינו להקטין את הספרה הגדולה של "b" עד שתהיה שווה למקבילה שלה במספר "a", לחסר בין המספרים, ואז להחסיר את הערך שהשמטנו. לדוגמה, כדי לחשב 872 − 92, עלינו להפוך את התרגיל לכדי 872 − 72 = 800. לאחר מכן נחסיר 20 מתוך 800 ונקבל: 780.
• אם יותר מספרה אחת של "b" גדולה מהמקבילה שלה במספר "a", יהיה קל יותר למצוא כמה יש להוסיף למספר "b" כדי לקבל את "a". לדוגמה, כדי לחשב 8192 − 732, אנחנו יכולים להוסיף 8 ל-732 (נקבל 740), לאחר מכן נוסיף 60 (נקבל 800), לאחר מכן 200 (נקבל 1000). לאחר מכן, נוסיף 192 כדי להגיע ל-1192, ולסיום, נוסיף 7000 כדי להגיע ל-8192. התשובה שלנו היא סכום ההוספות: 7460.
• ייתכן שיהיה קל יותר להתחיל מצד שמאל (מהמספרים הגדולים). באפשרותך לנחש מה דרוש, ולצבור את הניחושים שלך. הניחוש שלך טוב כל עוד לא חרגת ממספר ה"מטרה". בתרגיל 8192 − 732 נרצה להוסיף 8000 אבל זה יותר מדי (חריגה מהמטרה), אז נוסיף 7000. לאחר מכן המעבר מ-700 ל-1100 הוא הוספת 400 (ונקבל 7400), ולאחר מכן המעבר מ-32 ל-92 יתבצע בקלות על ידי הוספת 60. התוצאה היא 7460.

שיטת ההסתכלות קדימה

ניתן להיעזר בשיטה זו כדי לחסר מספרים משמאל לימין. כדי לבצע זאת בראש יש צורך להיטיב בזיכרון המספרים.

בכל פעם מחשבים מיקום ספרה אחד, משמאל לימין.

לדוגמה:

4075
-1844
------

אלפים: 4 - 1 = 3, הסתכלו ימינה, 075 < 844, יש צורך "לשאול" מספרים.
3 - 1 = 2, תוצאה למיקום זה: "אלפיים".
אנחנו מחשבים 3 - 1 במקום 4 - 1 מכיוון שהטור מצד ימין
צדריך לשאול ערך מספרת האלפים.

מאות: 0 − 8 = מספרים שליליים אינם לרוחנו.
עלינו להגדיל את הערך בעזרת המספר ששאלנו מהטור השמאלי (מספרת האלפים). ולכן:
10 - 8 = 2. השתמשנו ב-10 במקום ב-0, מכיוון ששאלנו מספרת האלפים.
75 > 44 ולכן אין צורך לשאול. תוצאה למיקום זה: "מאתיים".

עשרות: 7 - 4 = 3. מכיוון ש- 5 > 4 אין צורך לשאול.
תוצאה למיקום זה: "שלושים".

אחדות: 5 - 4 = 1. תוצאה למיקום זה: "אחת".

חישוב מכפלה: a × b

כדאי להכיר כי רבות מדרכי הפתרון מתקיימות ונעזרות בחוק הפילוג.

הכפלה פי 2 ומספרים קטנים יותר

כאשר מכפילים מספר כלשהו פי מספר בעל ספרה אחת יהיה קל להכפיל ספרה אחר ספרה מימין לשמאל. פעולה זו קלה במיוחד עבור הכפלה פי 2 מכיוון שמספר הספרות הנותרות של התוצאה לא יהיה גדול מ-1.

לדוגמה, כדי לחשב 2 × 167: נחשב 2×7=14, כך שהספרה האחרונה היא 4, עם 1 נותר שנוסף לחישוב של 2×6=12 ויניב 13, כך שהספרה האחרונה היא 3 עם 1 נותר שנוסף לחישוב של 2×1=2 ומניב 3. לפיכך, התוצאה היא 334.

הכפלה פי 5

כדי להכפיל מספר פי 5,

1. תחילה יש להכפיל את המספר פי 10, ולאחר מכן לחלקו ב-2.

האלגוריתם הבא הוא דרך מהירה להשגת התוצאה:

2. הוסף את הספרה 0 מצדו הימני של המספר. (א.) 3. לאחר מכן, החל מהספרה השמאלית ביותר, חלק ב-2 (ב.) וצרף כל תוצאה בסדר המתאים כדי ליצור את המספר החדש;(תוצאות שהתקבלו בצורת שבר יש לעגל כלפי מטה למספר השלם הקרוב ביותר).

לדוגמה: הכפלת 176 פי 5. א. הוספת אפס מצדו הימני של 176 כדי לקבל 1760. ב. חלוקה ב-2 החל מהספרה השמאלית ביותר. 1. חלוקת 1 ב-2 כדי לקבל 0.5, יעוגל כלפי מטה לכדי 0. 2. חלוקת 7 ב-2 כדי לקבל 3.5, יעוגל כלפי מטה לכדי 3. 3. חלוקת 6 ב-2 כדי לקבל 3. חלוקת 0 ב-2 היא פשוט 0.

התוצאה שהתקבלה היא 0330. זוהי לא התוצאה הסופית, אבל התקרבות ראשונית שתשופר בצעד הבא:

ג. הוספת 5 לספרה העוקבת של כל ספרה במספר החדש שהמקבילה שלה במספר המקורי הניבה תוצאת שבר בחלוקה ב-2.

לדוגמה: 176 (בספרת האחדות, העשרות והמאות):

1. הספרה הימנית ביותר (ספרת המאות) היא 1, שהניבה תוצאת שבר (0.5). יש להוסיף 5 לספרה העוקבת במספר החדש (0330), כלומר לספרה 3; באופן הבא: 3+5=8.

2. הספרה הבאה של 176 היא 7, וגם היא הניבה תוצאת שבר. הספרה העוקבת במספר החדש (0830) תגדל גם היא ב-5; באופן הבא: 3+5=8.

3. הספרה הבאה של 176 היא 6, מקבילתה בתוצאה היא 0, מספר שלא הניב שבר. התוצאה הסופית היא 0880. ניתן להשמיט את ה-0 השמאלי ביותר, ונותרנו עם 880. לפיכך, המכפלה של 176 ב-5 תניב את התוצאה 880.

הכפלה פי 9

ידוע כי 9 = 10 − 1, ולכן כדי להכפיל פי 9 יש להכפיל פי 10 ולאחר מכן לחסר פעם אחת את המספר המקורי מהתוצאה. לדוגמה, 9 × 27 = 270 − 27 = 243. ניתן להיעזר בדרך זו גם עבור הכפלה פי שמונה, אך יהיה צורך לחסר פעמיים את המספר.

שימוש באצבעות הידיים: הכפלת 1–10 פי 9

פשטו את כפות הידיים שלכם מול עיניכם. התייחסו לאגודל השמאלי כ- 1, כך שהאצבע הבאה אחריו תייצג 2, וכן הלאה עד לאגודל הימני שייצג 10. כל "|" מייצג אצבע מורמת וכל "−" מייצג אצבע כפופה.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
| | | | |  | | | | |
יד ימין יד שמאל

כופפו את האצבע שמייצגת את המספר שתרצו להכפיל פי 9.

לדוגמה: 6 × 9 יהיה: | | - | | | | |

הזרת של יד ימין כופפה. קחו את מספר האצבעות שנשארו מורמות מצד שמאל של האצבע המכופפת וצרפו אותו למספר האצבעות המורמות מצד ימין.

בדוגמה שלנו: ישנן חמש אצבעות מורמות משמאל לזרת שכופפה, וארבעה מימין לה. לפיכך, 6 × 9 = 54.

4 5
| | | | −  | | | | |

הכפלה פי 10 (ופי חזקות של 10)

כדי להכפיל מספר שלם פי 10, פשוט מוסיפים 0 מצדו הימני של המספר. כדי להכפיל מספר שאינו שלם פי 10, יש להזיז את הנקודה העשרונית ספרה אחת ימינה.

באופן כללי עבור חזקות של עשר, כדי להכפיל פי 10ⁿ (כאשר n הוא מספר שלם), יש להזיז את הנקודה העשרונית n ספרות ימינה. אם n הוא שלילי, יש להזיז את הנקודה העשרונית |n| ספרות שמאלה.

הכפלה פי 11

כדי להכפיל מספרים בעלי ספרה אחת פשוט צריך לשכפל את הספרה גם לספרת העשרות, לדוגמה: 1 × 11 = 11, 2 × 11 = 22 ועד 9 × 11 = 99.

המכפלה עבור מספרים שלמים גדולים יותר תבוצע על ידי סדרה של הוספות לכל הספרות מימין לשמאל, לפי חיבור שתי ספרות בכל פעם.

תחילה ניקח את ספרת האחדות ונעתיק אותה לתוצאה הזמנית. לאחר מכן, החל בספרת האחדות של המספר, נוסיף את סכום הספרה עם הספרה הצמודה לה משמאל לקצה השמאלי של התוצאה הזמנית. אם הסכום המתקבל הוא 10 או יותר, נוסיף לתוצאה הזמנית רק את ספרת האחדות, ואת ספרת העשרות (שתמיד תהיה 1) נחבר להוספה הבאה. לבסוף נוסיף את הספרה השמאלית ביותר של המספר מצדה השמאלי של התוצאה (תוך הוספת ה-1 הנותר אם ישנו), ונקבל את הפתרון הסופי.

דוגמה צעד-אחר-צעד עבור המכפלה 759 × 11:

1. ספרת האחדות של המספר היא 9. נעתיק אותה לתוצאה הזמנית.
   • תוצאה זמנית: 9
2. נוסיף לתוצאה את 5+9=14 כך שהמספר 4 ימוקם מצד שמאל לתוצאה ונשמור את ספרת העשרות 1 לחישוב הבא.
   • תוצאה זמנית: 49
3. באופן דומה נוסיף את 7+5=12, נצרף אליו את המספר הנותר מהחישוב הקודם, 1, ונקבל 13. נמקם את ה-3 משמאל לתוצאה הזמנית ונשמור את ה-1.
   • תוצאה זמנית: 349
4. נוסיף את ה-1 הנותר לספרה הגדולה ביותר במספר המקורי, 7+1=8, ונעתיק זאת לתוצאה הזמנית כדי להגיע לפתרון הסופי.
   • התוצאה הסופית של המכפלה 759 × 11 היא 8349.

דוגמאות נוספות (אלו אינן משוואות מתמטיות רגילות אלא הצגת החישובים של השיטה):

• 54 × 11 = 5 5+4(9) 4 = 594
• 999 × 11 = 9+1(10) 9+9+1(9) 9+9(8) 9 = 10989
  • שימו לב שהחישוב של 9+1 מייצג את ההוספה הסופית של הספרה השמאלית ביותר.
• 3478 × 11 = 3 3+4+1(8) 4+7+1(2) 7+8(5) 8 = 38258
• 62473 × 11 = 6 6+2(8) 2+4+1(7) 4+7+1(2) 7+3(0) 3 = 687203

דרך נוספת להכפלה ב-11 היא פשוט הכפלת המספר ב-10, ולאחר מכן הוספת המספר המקורי לתוצאה.

לדוגמה:

17 × 11

17 × 10 = 170

170 + 17 = 187

17 × 11 = 187

הכפלת מספרים בעלי שתי ספרות בין 11 ל-19

ישנו אלגוריתם פשוט כדי להכפיל בפשטות בין שני מספרים בעלי שתי ספרות בין 11 ל-19 כמתואר (כאשר a הוא ספרת האחדות של המספר הראשון ו־b הוא ספרת האחדות של המספר השני).

(10+a) x (10+b)

100 + 10*(a + b) + a*b
ניתן להציג זאת כשלושה חלקים שצריך להוסיף:

1
xx
 yy

לדוגמה:

17 * 16

1 = 100
13 (7+6) = 10*(a+b)
 42 (7*6) = a*b

 272 (סך הכל)

הכפלת כל שני מספרים בעלי שתי ספרות

ישנו אלגוריתם פשוט כדי להכפיל בפשטות בין שני מספרים בעלי שתי ספרות (כאשר a הוא ספרת העשרות של המספר הראשון, b הוא ספרת האחדות של המספר הראשון, c הוא ספרת העשרות של המספר השני ו־d הוא ספרת האחדות של המספר השני).

${\displaystyle (10a+b)\cdot (10c+d)}$

${\displaystyle =100(a\cdot c)+10(b\cdot c)+10(a\cdot d)+b\cdot d}$

לדוגמה:

${\displaystyle 23\cdot 47=100(2\cdot 4)+10(3\cdot 4)+10(2\cdot 7)+3\cdot 7}$

800
+120
+140
+ 21
-----
1081

שימו לב כי חישוב זה למעשה זהה לסכימת כל הגורמים במכפלה, רק באופן מקוצר. כדי לצמצם את מספר הדברים שיש לזכור, יהיה נוח יותר לבצע כפל בהצלבה של הגורם הראשון, ולאחר מכן הוספת שני הרכיבים האחרים.

${\displaystyle (a\cdot d+b\cdot c)\cdot 10}$

${\displaystyle b\cdot d+{}}$ [רק ספרות האחדות]

${\displaystyle a\cdot c\cdot 100+{}}$

בתרגיל שבדוגמתנו: {{{1}}} יהיה קל להוסיף לתוצאה 21 ונקבל 281, ולאחר מכן נוסיף 800 ונקבל 1081.

התבנית שצריך לזכור היא:

${\displaystyle a\cdot c\cdot 100+(a\cdot d+b\cdot c)\cdot 10+b\cdot d}$

כדי לחשב במהירות, כדאי לזכור שהתבנית מורכבת מסכום החלקים הבאים:

• מכפילים ב-100 את מכפלת העשרות.
• מכפילים ב-10 את סכום מכפלת הספרות בקצוות עם מכפלת הספרות הפנימיות (מתקבלת צורת "אוזניים").
• מוסיפים את מכפלת האחדות.

לקריאה נוספת

• אברהם סלמן, חישובי פלא, הוצאת "טכניקה ומדע", 1954.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא חישוב בעל-פה בוויקישיתוף

• Mental Calculation World Cup
• Mental Calculation World Cup
• Mental processes and the creation of a secondary memory to facilitate calculation
• Evidence for Increased Functional Specialization in the Left Inferior Parietal Cortex
• Large EEG waves ellicited by Mental Calculation PDF
• JavaScript program for mental arithmetic
• Android app for mental arithmetic
• Mental arithmetic training field