Loading AI tools
התורה המתמטית של נקודות, ישרים ומעגלים במישור, המבוססת על האקסיומות שהציג וסיכם אוקלידס בספרו יסודות, והכללות שלה למרחב התלת-ממדי מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
הגאומטריה האוקלידית היא התורה המתמטית של נקודות, ישרים ומעגלים במישור, המבוססת על מספר אקסיומות והנחות שהציג וסיכם אוקלידס בספרו יסודות, והכללות שלה למרחב התלת-ממדי. מדידות לצרכים הנדסיים נעשו בכל רחבי העולם העתיק, ואף נעשו מספר הבחנות כגון זו שבמשפט פיתגורס, אבל רק בתרבות היוונית נבנתה עבורם מסגרת תאורטית שיטתית, שבליבה התהליך הדדוקטיבי שבו מקבלים משפט מהנחות יסוד ומשפטים קודמים.
במשך יותר מאלפיים שנה נקראה הגאומטריה האוקלידית פשוט "גאומטריה", משום שהייתה הגאומטריה היחידה. ניסיונות להוכיח את אקסיומת המקבילים מתוך שאר האקסיומות הביאו במאה ה-19 לפיתוחן של גאומטריות אלטרנטיביות, שאינן מתבססות על האקסיומה הזו, והן קרויות גאומטריות לא אוקלידיות.
גאומטריה אוקלידית נמנית עם ענפי המתמטיקה המעטים הנלמדים בבית הספר היסודי והתיכון. במסגרת זו יש המבחינים, משיקולים דידקטיים, בין גאומטריית המישור (או הנדסת המישור), העוסקת בגופים מישוריים בלבד, כגון משולש ומעגל, ובין גאומטריית המרחב (או הנדסת המרחב), העוסקת בגופים תלת-ממדיים, כגון פירמידה, קובייה וכדור.
אוקלידס, שנחשב לאבי הגאומטריה בזכות ספרו "יסודות", ביסס את הגאומטריה המישורית על שני מונחי יסוד, ה"נקודה", וה"ישר", שאינם מוגדרים באופן מתמטי מדויק, אבל הם מקבלים את משמעותם ואת התכונות שלהם מהנחות היסוד שהם מקיימים והקשר שלהם למונחים אחרים שאוקלידס מגדיר, ביניהם ה"מעגל", ה"זווית" וה"מישור". הנקודה הישר המעגל והזווית מקיימים יחד איתם חמש הנחות:
בנוסף אוקלידס מציין חמש מוסכמות, או אקסיומות, שאינן תלויות במושגים מסוימים:
ההנחה החמישית שקולה לטענה כי דרך נקודה שמחוץ לישר עובר מקביל אחד ויחיד, המכונה "אקסיומת המקבילים". בניגוד לשאר ההנחות והאקסיומות, הנראות פשוטות ומובנות מאליהן, אקסיומת המקבילים נראתה למתמטיקאים לאורך ההיסטוריה פחות טבעית, והם ניסו למצוא דרך להוכיח אותה משאר ההנחות. רק במאה ה-19 הוכח שהיא בלתי ניתנת להוכחה, על ידי יצירת הגאומטריה ההיפרבולית שבה כל ארבע האקסיומות הראשונות נכונות אך החמישית איננה נכונה. תחום זה של הגאומטריה נקרא גאומטריה לא-אוקלידית, בניגוד ל"גאומטריה אוקלידית" שבה מניחים את כל חמש ההנחות.
המוסכמות וההנחות שהציע אוקלידס אינן מספיקות לביסוס של הגאומטריה במידת הקפדנות המקובלת היום; במקומן מקובל להשתמש במערכת האקסיומות של הילברט שהציע דויד הילברט בסוף המאה ה-19.
פיתוח גאומטריית המרחב דורש את מושג המישור, המאופיין בכך שדרך 3 נקודות שאינן נמצאות על ישר אחד עובר מישור אחד ויחיד.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.