משפט מנלאוס

בגאומטריה אוקלידית, משפט מנלאוס נותן תנאי הכרחי ומספיק לכך ששלוש נקודות על צלעות משולש או המשכיהן תהיינה מונחות על ישר אחד.

מקרה 1: שתי נקודות על הצלעות ונקודה שלישית בהמשך הצלע השלישית

מקרה 2: כל הנקודות על המשכי הצלעות

המשפט קובע (לפי הסימונים שבשרטוטים בצד שמאל) שהנקודות D,E,F על ישר אחד (בשרטוט - הישר הסגול) אם ורק אם מתקיים: ${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}$ (כאשר היחסים מסומנים על-פי הכיוון).

הוכחה

נטיל את שלוש הנקודות לישר המאונך לישר DE; נסמן כל נקודה בהיטל באות של הנקודה המקורית עם תג ('). על-פי משפט תאלס, משפט מנלאוס שאנו רוצים להוכיח שקול לקביעה ש-D' ו-F' מתלכדות אם ורק אם: ${\displaystyle {\frac {A'F'}{F'B'}}\cdot {\frac {B'D'}{D'C'}}\cdot {\frac {C'D'}{D'A'}}=-1}$, ונוסחה זו שקולה ל ${\displaystyle {\frac {A'F'}{F'B'}}\cdot {\frac {B'D'}{D'A'}}=1}$, השקולה ל- ${\displaystyle {\frac {A'F'}{F'B'}}={\frac {A'D'}{D'B'}}}$. ברור שזה מתקיים אם ורק אם D',ו-F' מתלכדות.

ראו גם

• משפט צ'בה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט מנלאוס בוויקישיתוף

• משפט מנלאוס, באתר MathWorld (באנגלית)