שבר משולב

שבר משולב הוא ביטוי מהצורה

${\displaystyle x=a_{0}+{\dfrac {1}{a_{1}+{\dfrac {1}{a_{2}+{\dfrac {1}{a_{3}+{\dfrac {1}{\cdots +{\dfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}}}}$

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

כאשר המספרים ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}}$ הם בדרך כלל מספרים טבעיים, או ביטוי אינסופי בעל מבנה דומה.

שברים משולבים מופיעים בתחומים שונים של תורת המספרים: ניתוח האלגוריתם של אוקלידס לחישוב מחלק משותף מקסימלי, פתרון משוואת פל, ובעיקר קירובים רציונליים למספרים ממשיים. למעשה, נתן להראות כי הקירובים המתקבלים על ידי שברים משולבים הם הקירובים הרציונליים הטובים ביותר. לשברים משולבים יש חשיבות רבה גם באנליזה נומרית, לצורך קירוב של קבועים ופונקציות שונות, לרבות פונקציות לא אלמנטריות.

היסטוריה

נטען שכבר ארכימדס עשה שימוש בשיטת השברים המשולבים, במסגרת עבודתו על שיטה לחישוב ${\displaystyle \pi }$, שבמהלכה צריך היה לבצע קירובים רציונליים לשורשים ריבועיים של מספרים שאינם ריבועים (ראו גם "על המדידה של המעגל"). מאוחר יותר, גם אריהאבטה ופיבונאצ'י חקרו את השימוש בשברים משולבים. המונח "שבר משולב" נטבע ב-1653 על ידי ג'ון ואליס בחיבורו "Arithmetica infinitorum". בערך באותו זמן, המדען ההולנדי המפורסם כריסטיאן הויגנס עשה שימוש פרקטי ראשון בשברים משולבים, כשהשתמש בהם לצורך בניית מכשירים מדעיים המורכבים מגלגלי שיניים.

את הטיפול השיטתי הראשון בשברים משולבים סיפק לאונרד אוילר במאמריו De fractionibus continuis dissertatio ו-Introductio in analysin infinitorum, בהם ניתח באופן מעמיק את התכונות של שברים משולבים, הוכיח שכל מספר רציונלי ניתן להצגה כשבר משולב סופי, הוכיח את השקילות של טורים אינסופיים מסוימים עם שברים משולבים (נוסחת אוילר לשברים משולבים), ומצא הצגה של הקבוע המתמטי e כשבר משולב אינסופי, ממנה נבע כי e הוא אי-רציונלי. הוא גם עשה שימוש בהם לצורך פתרון משוואת פל. ב-1761, יוהאן היינריך למברט סיפק את ההוכחה הראשונה ש-${\displaystyle \pi }$ אי-רציונלי באמצעות הצגת ${\displaystyle \tan(x)}$ כשבר משולב. ההוכחה שלו הייתה חריגה בנוף המתמטי של התקופה כיוון שלא רק שהפיתוח לשבר משולב נרשם נכונה לראשונה, אלא שלמברט גם נתן הוכחה של ההתכנסות שלו.

ב-1813, קרל פרידריך גאוס גזר תבנית כללית ביותר של שברים משולבים עם ערכים מרוכבים באמצעות זהות שקשרה בינם לטור ההיפרגאומטרי. גאוס גם חקר לפני כן, ב-1800, את ההתנהגות של שברים משולבים של מספרים ממשיים אקראיים וניסח והוכיח מספר חוקים לגבי ההתנהגות שלהם. רק ב-1928, בנה קוזמין (אנ') מחדש את ההוכחה של גאוס.

סימונים והכללות

לשם הקיצור, מקובל לסמן את השבר המשולב המופיע במבוא בסימון ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]}$. שבר כזה, שבו כל המונים שווים ל-1, נקרא לפעמים שבר משולב פשוט, בעוד ששבר משולב מוכלל הוא ביטוי כללי יותר, מן הצורה

${\displaystyle x=a_{0}+{\dfrac {b_{1}}{a_{1}+{\dfrac {b_{2}}{a_{2}+{\dfrac {b_{3}}{a_{3}+\cdots +{\dfrac {b_{n}}{a_{n}}}}}}}}}}$

שברים משולבים כאלה כותבים לפעמים כ-${\displaystyle x=a_{0}+{\frac {b_{1}}{a_{1}+}}\,{\frac {b_{2}}{a_{2}+}}\,{\frac {b_{3}}{a_{3}+}}\ldots }$.

הרכיבים הסופיים של שבר משולב

את השבר האינסופי ${\displaystyle x=a_{0}+{\frac {b_{1}}{a_{1}+}}\,{\frac {b_{2}}{a_{2}+}}\,{\frac {b_{3}}{a_{3}+}}\cdots }$ אפשר לחקור בעזרת המרכיבים הסופיים שלו, ${\displaystyle x_{k}=a_{0}+{\frac {b_{1}}{a_{1}+}}\,{\frac {b_{2}}{a_{2}+}}\,\cdots \,{\frac {+b_{k}}{a_{k}}}}$, שהם מספרים רציונליים.

הבניה של שבר משולב מן הסדרות ${\displaystyle a_{n},b_{n}}$ היא תהליך אינסופי, שמלכתחילה לא מובן מאליו שהוא מתכנס למספר כלשהו. התכונה הבסיסית ביותר של שברים משולבים היא העובדה שהתהליך מתכנס כל אימת שהסדרות המגדירות אותו חיוביות.

נגדיר סדרות נסיגה על-פי תנאי ההתחלה ${\displaystyle \ p_{-1}=1,q_{-1}=0;p_{0}=a_{0},q_{0}=1}$, ונוסחת הנסיגה ${\displaystyle q_{n}=a_{n}q_{n-1}+b_{n}q_{n-2},p_{n}=a_{n}p_{n-1}+b_{n}p_{n-2}}$.

מתברר שתחת הגדרה זו, המנות ${\displaystyle {\frac {p_{k}}{q_{k}}}}$ מתארות את השלבים הסופיים בפיתוח השבר המשולב, כלומר ${\displaystyle x_{k}={\frac {p_{k}}{q_{k}}}}$ לכל ${\displaystyle k}$ טבעי.

את נוסחת הנסיגה אפשר לכתוב בעזרת מטריצות, באופן הבא:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{n}&q_{n}\\p_{n-1}&q_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{n}&b_{n}\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{n-1}&q_{n-1}\\p_{n-2}&q_{n-2}\end{bmatrix}}}$

מהשוואת הדטרמיננטה בשני האגפים, נובע באינדוקציה כי ${\displaystyle p_{k}q_{k-1}-p_{k-1}q_{k}=(-1)^{k-1}\prod _{i\,=\,1}^{k}b_{i}}$. זוהי זהות חשובה ביותר, שאפשר להסיק ממנה תכונות רבות של הסדרות המעורבות. לדוגמה, בשבר משולב פשוט מתקיים ${\displaystyle b_{k}=1}$ לכל ${\displaystyle k}$, ואם כך הזהות קובעת שהמספרים ${\displaystyle p_{k},q_{k}}$ זרים, כך שהשבר ${\displaystyle x_{k}}$ שהם מציגים הוא שבר מצומצם.

כדי להוכיח את התכנסות התהליך, נחלק את הזהות במכפלה ${\displaystyle q_{k}q_{k-1}}$, ונקבל ${\displaystyle x_{k}-x_{k-1}={\frac {(-1)^{k-1}}{q_{k}q_{k-1}}}\prod _{i\,=\,1}^{k}b_{i}}$, כלומר ${\displaystyle x_{k}=x_{0}+\sum _{j\,=\,1}^{k}{\frac {(-1)^{j-1}}{q_{j}q_{j-1}}}\prod _{i\,=\,1}^{j}b_{i}}$. מנוסחת הנסיגה, קל להיווכח כי הסדרה ${\displaystyle {\frac {b_{1}\cdots b_{k}}{q_{k}q_{k-1}}}}$ היא סדרה יורדת של מספרים חיוביים, ומשפט לייבניץ מבטיח כי הטור המתחלף המגדיר את ${\displaystyle x_{k}}$ – מתכנס.

למעשה, חישוב בעזרת נוסחת הנסיגה מביא לנוסחה ${\displaystyle \!\ p_{k}q_{k-2}-p_{k-2}q_{k}=(-1)^{k}a_{k}\prod _{i=1}^{k-1}b_{i}}$, שממנה מתקבל היחס ${\displaystyle x_{k}-x_{k-2}=(-1)^{k}{\frac {a_{k}}{q_{k}q_{k-2}}}\prod _{i=1}^{k-1}b_{i}}$. מכאן שסדרת הקירובים הזוגיים היא סדרה עולה, וסדרת הקירובים האי-זוגיים היא סדרה יורדת. עוד אפשר להוכיח שאיברי הסדרה העולה קטנים ממש מאיברי הסדרה היורדת.

הצגה של מספרים ממשיים

הדיון לעיל מראה שאם המספרים ${\displaystyle a_{n}}$ טבעיים, אז הביטוי ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},\ldots ]}$ הוא תמיד מספר ממשי מוגדר היטב (כלומר, סדרת המספרים ${\displaystyle x_{k}}$ מתכנסת). מן האלגוריתם של אוקלידס (או באינדוקציה) נובע שלכל מספר רציונלי יש הצגה כשבר משולב סופי. מאידך, אפשר להוכיח שלכל מספר ממשי אי-רציונלי קיימת הצגה (יחידה) כשבר משולב אינסופי.

את ההצגה של ${\displaystyle x}$ כשבר משולב אפשר לחשב על ידי הגדרת סדרת עזר, באופן הבא: ${\displaystyle x_{0}'=x}$, ולכל ${\displaystyle n\geq 0}$ מגדירים ${\displaystyle a_{n}=\lfloor x_{n}'\rfloor }$ (החלק השלם) ו-${\displaystyle x_{n+1}'={\frac {1}{x_{n}'-a_{n}}}}$. השבר המשולב ${\displaystyle [a_{0};a_{1},\ldots ]}$ שווה במקרה זה ל-${\displaystyle x}$.

משפט. ההצגה של מספר ממשי כשבר משולב היא מחזורית, אם ורק אם המספר הוא שורש למשוואה ממעלה שנייה בעלת מקדמים שלמים.

לדוגמה, השבר המשולב ${\displaystyle x=[1;{\overline {1}}]=[1;1,1,\dots ]}$ מייצג את יחס הזהב ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$, משום שלפי ההגדרה ${\displaystyle x=1+{\frac {1}{x}}}$. בדומה לזה, ${\displaystyle y=[1;{\overline {3,1}}]={\frac {3+{\sqrt {21}}}{6}}}$, כי מ-${\displaystyle y=1+{\frac {1}{3+{\frac {1}{y}}}}}$ מתקבלת המשוואה ${\displaystyle 3y^{2}-3y-1=0}$. הפיתוח של ${\displaystyle {\sqrt {D}}}$ לשבר משולב מחזורי מאפשר לפתור את משוואת פל ${\displaystyle x^{2}-Dy^{2}=1}$.

ישנם מספרים אי-רציונליים יוצאי דופן, עבורם הייצוג כשבר משולב ידוע, אף על פי שאינו מחזורי. למשל, עבור הקבוע e ניתן להוכיח כי ${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ]}$. אם נתיר לחבר אפסים במכנה, נקבל את הייצוג ${\displaystyle e=[1;0,1,1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ]}$ (שכן ${\displaystyle 2=[1;0,1]}$) בו החוקיות יותר ניכרת.

קירובים על ידי שברים משולבים

כל מספר אי־רציונלי ניתן לקרב על ידי סדרת מספרים רציונליים. למשל, נוכל לקרב את ${\displaystyle \pi }$ באופן דצימלי על ידי הסדרה ${\displaystyle {\frac {3}{1}},{\frac {31}{10}},{\frac {314}{100}},\ldots }$. ניתן להתקרב למספר אי־רציונלי עד למרחק קטן כרצוננו, אולם לשם כך יהא עלינו להגדיל את המכנה בשבר המקרב. לכן מודדים את טיב הקירוב במרחק של השבר הרציונלי מן היעד, יחסית לגודל המכנה.

בניית שבר משולב נותנת טכניקה לקירוב רציונלי של מספרים אי-רציונליים. אפשר להציג את ${\displaystyle \pi }$ כשבר משולב על ידי ${\displaystyle [3;7,15,\ldots ]}$. מתוך תחילת הייצוג נוכל לקבל את הקירוב ${\displaystyle 3+{\frac {1}{7+{\frac {1}{15}}}}={\frac {333}{106}}}$ למספר ${\displaystyle \pi }$. קירוב זה הוא בעל מכנה דומה לקירוב ${\displaystyle {\frac {314}{100}}}$ אולם מתקיים ${\displaystyle \left|\pi -{\frac {314}{100}}\right|=0.00159}$, ואילו ${\displaystyle \left|\pi -{\frac {333}{106}}\right|=0.000083}$, וכך הקירוב שהתקבל מתוך פיתוח השבר המשולב הוא טוב יותר.

יהא ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ שבר המתקבל משלב כלשהו בפיתוח השבר המשולב של מספר אי־רציונלי ${\displaystyle x}$. שבר זה הוא מיטבי לקירוב, מהבחינות הבאות:

• אין שבר בעל מכנה קטן יותר המקרב את ${\displaystyle x}$ טוב יותר. כלומר, עבור זוג מספרים טבעיים ${\displaystyle a,b}$ המקיימים ${\displaystyle b\leq q}$ נקבל ${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|\leq {\frac {b}{q}}\left|x-{\frac {a}{b}}\right|}$.
• כל שבר המקרב היטב את ${\displaystyle x}$ מופיע בשלב כלשהו בפיתוח השבר המשולב שלו. כלומר, אם ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ שבר רציונלי מצומצם המקיים ${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{2q^{2}}}}$ אז השבר יופיע בשלב כלשהו בפיתוח השבר המשולב של ${\displaystyle x}$.
• בהינתן שלושה שברים משלבים רצופים בפיתוח של ${\displaystyle x}$ כשבר משולב, לפחות אחד מהם יקיים ${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}}$. לפי משפט הורוביץ (ראו קירוב דיופנטי), זהו הקירוב המיטבי שניתן להשיג עבור מספר אי־רציונלי כללי.

התנהגות כמעט תמיד

כאשר מתאימים מספר ממשי ${\displaystyle x}$ לפיתוח ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]}$, אפשר לבחון את התנהגות הסדרה ${\displaystyle a_{n}}$ עבור ערכים שונים של ${\displaystyle x}$. למשל, ידוע שכמעט לכל ${\displaystyle x}$, הסדרה אינה חסומה; ליתר דיוק, קבוצת הערכים ${\displaystyle 0<x<1}$ שעבורם הסדרה חסומה היא קבוצה ממידה אפס. המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר חינצ'ין (Александр Хинчин) הוכיח בספרו^[1] תוצאות רבות מסוג זה, העוסקות בערכים ${\displaystyle a_{n},q_{n}}$ המתקבלים מהצגת מספר ממשי שנבחר באקראי (בין היתר עשה התקדמות אל הוכחה של השערה מיומנו של גאוס). להלן כמה מן המשפטים החשובים שהוכיח חינצ'ין.

משפט^[2]. תהי ${\displaystyle h_{n}}$ סדרה כלשהי. אם הטור ${\displaystyle \sum {\frac {1}{h_{n}}}}$ מתבדר, אז כמעט תמיד מתקיים אי-השוויון ${\displaystyle a_{n}\geq h_{n}}$ עבור אינסוף ערכי ${\displaystyle n}$; ואם הטור מתכנס, אז כמעט תמיד מתקיים אי-שוויון זה רק עבור מספר סופי של ערכי ${\displaystyle n}$.

(לדוגמה, כמעט לכל ${\displaystyle x}$ הסדרה ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{n}}}$ אינה חסומה).

משפט^[3]. כמעט לכל ${\displaystyle x}$ מתקיים ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\log(q_{n})}{n}}={\frac {\pi ^{2}}{12\log(2)}}}$. בפרט, הסדרה ${\displaystyle q_{n}}$ גדלה במהירות אקספוננציאלית (למעשה, קל לראות מן ההגדרה שהסדרה גדלה מהר לפחות כמו סדרת פיבונאצ'י).

חינצ'ין חקר גם את ההתפלגות של המקדמים ${\displaystyle a_{n}}$ (עבור ${\displaystyle x}$ בעל התפלגות אחידה בקטע (0,1)), והראה^[4] שלכל פונקציה ${\displaystyle f}$ שאינה גדלה מהר מדי (${\displaystyle f(n)<Cn^{1/2-\varepsilon }}$ עבור קבוע מתאים ${\displaystyle C}$ ו-${\displaystyle \varepsilon >0}$), הערך הממוצע ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k\,=\,1}^{n}f(a_{k})}$ של המספרים ${\displaystyle f(a_{n})}$ שווה, בהסתברות 1, ל-${\displaystyle \sum _{k\,=\,1}^{\infty }\log _{2}\left(1+{\frac {1}{k(k+1)}}\right)f(k)}$. בפרט, שכיחות ההופעה של קבוע ${\displaystyle N}$ בסדרה היא ${\displaystyle \log _{2}\left(1+{\frac {1}{N(N+1)}}\right)}$. תוצאה זו מכלילה את מידת גאוס, שהיא המידה על קטע היחידה האינווריאנטית להעתקה ${\displaystyle x\mapsto (1/x)}$.

ראו גם

• אלגוריתם אוקלידס
• משוואת פל
• קירוב רציונלי

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא שבר משולב בוויקישיתוף

• שבר משולב, באתר MathWorld (באנגלית)
• גדי אלכסנדרוביץ', שברים משולבים, ולמה הם מגניבים, באתר "לא מדויק", 29 במאי 2010
• שבר משולב, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערות שוליים

1. A. Ya. Khinchin, Continued Fractions, 1935
2. משפט 30 בספרו של חינצ'ין
3. חינצ'ין הוכיח את קיומו של הקבוע; התוצאה המדויקת מופיעה ב- P.Levy, Theorie de l'addition des variables aleatoires, Paris 1937, p. 320
4. משפט 35 בספרו של חינצ'ין