קבוצה דלילה

בטופולוגיה, קבוצה דלילה היא קבוצה שהפנים של הסגור שלה ריק. כלומר, אם ${\displaystyle A}$ קבוצה, היא תיקרא דלילה אם מתקיים ${\displaystyle {\mbox{Int}}\left({\mbox{Cl}}(A)\right)=\emptyset }$.

דלילות פירושה, במובן מסוים, ההפך מצפיפות. בעוד שעבור קבוצה צפופה מתקיימת התכונה שכל קבוצה פתוחה במרחב פוגשת אותה (כלומר, יש להן איבר משותף), הרי שקבוצה דלילה מקיימת את התכונה שכל קבוצה פתוחה במרחב מכילה קבוצה פתוחה לא ריקה שזרה לקבוצה הדלילה - כלומר, הקבוצה הדלילה היא "לא צפופה בשום מקום" (ועל כן באנגלית מכנים אותה גם "Nowhere dense").

דוגמה

אם המרחב שלנו הוא הישר הממשי, והקבוצה שלנו היא קבוצת המספרים השלמים, זוהי קבוצה דלילה - הסגור של המספרים השלמים הוא המספרים השלמים, והפנים של קבוצה זו ריק (שכן כל כדור פתוח סביב כל אחד מהמספרים השלמים מכיל גם מספרים לא שלמים).

לעומת זאת, קבוצת המספרים הרציונליים אינה דלילה, וזאת למרות שהפנים שלה ריק (כי כל כדור פתוח סביב מספר רציונלי מכיל מספרים אי רציונליים) - זאת מכיוון שהסגור של קבוצת המספרים הרציונליים הוא כל המרחב, ולכן הפנים שלו הוא גם כן כל המרחב.

נשים לב, שאת קבוצת המספרים הרציונליים ניתן להציג כאיחוד בן מנייה של קבוצות דלילות (הזזות של קבוצת השלמים במספר רציונלי). תכונה זו לא מתקיימת בישר הממשי כולו. קבוצת המספרים הממשיים לא ניתנת להצגה כאיחוד בן מנייה של קבוצות דלילות. תכונה זו מוכחת על ידי משפט הקטגוריה של בייר.

קטגוריות ומשפט בייר

איחוד סופי של קבוצות דלילות הוא קבוצה דלילה. לעומת זאת, איחוד אינסופי של קבוצת דלילות אינו בהכרח קבוצה דלילה. קבוצה שהיא איחוד בן מנייה של קבוצות דלילות נקראת קבוצה מקטגוריה ראשונה, וקבוצות אחרות נקראות קבוצות מקטגוריה שנייה. משפט הקטגוריה של בייר אומר כי במרחבים מסוימים, הפנים של קבוצה מהקטגוריה הראשונה הוא תמיד ריק.

קישורים חיצוניים

• קבוצה דלילה, באתר MathWorld (באנגלית)