סגור (טופולוגיה)

בטופולוגיה, סְגוֹר של קבוצה ${\displaystyle S}$ השייכת למרחב טופולוגי ${\displaystyle X}$ הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את ${\displaystyle S}$. מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי ${\displaystyle S}$ ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה ${\displaystyle S}$.

הגדרה פורמלית

יהא ${\displaystyle X}$ מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא ${\displaystyle S\subseteq X}$ קבוצה. אם ${\displaystyle \Lambda }$ היא קבוצת הקבוצות הסגורות ${\displaystyle A}$ המקיימות ${\displaystyle S\subseteq A\subseteq X}$ (כלומר, קבוצת הקבוצות הסגורות המכילות את ${\displaystyle S}$), אז הסגור של ${\displaystyle S}$ יסומן ${\displaystyle {\mbox{Cl}}(S)}$ או ${\displaystyle {\overline {S}}}$, ויוגדר על ידי:

${\displaystyle {\overline {S}}={\mbox{Cl}}(S)=\bigcap _{A\in \Lambda }A}$.

להלן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה לעיל (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותן כהגדרה, ניתן להוכיח מהן את ההגדרה המקורית):

• ${\displaystyle {\mbox{Cl}}(S)}$ היא קבוצת כל האיברים של ${\displaystyle X}$ שבכל סביבה שלהם קיים איבר של ${\displaystyle S}$ (לא בהכרח שונה מהם).
• ${\displaystyle {\mbox{Cl}}(S)=S\cup S'}$, כאשר ${\displaystyle S'}$ היא הקבוצה הנגזרת של ${\displaystyle S}$.
• הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה: ${\displaystyle {\mbox{Cl}}(A)=\left({\mbox{Int}}(A^{C})\right)^{C}}$.

דוגמאות

• הסגור של הקטע הפתוח ${\displaystyle (a,b)}$ הוא הקטע הסגור ${\displaystyle [a,b]}$.
• הסגור של קבוצת המספרים הרציונלים ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ הוא הישר הממשי כולו ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

תכונות הנוגעות לסגור

• כל קבוצה סגורה שווה לסגור של עצמה: ${\displaystyle A={\mbox{Cl}}(A)}$. בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן ${\displaystyle {\mbox{Cl}}(A)={\mbox{Cl}}\left({\mbox{Cl}}(A)\right)}$.
• ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow {\mbox{Cl}}(A)\subseteq {\mbox{Cl}}(B)}$.
• ${\displaystyle {\mbox{Cl}}\left(A\cap B\right)\subseteq {\mbox{Cl}}(A)\cap {\mbox{Cl}}(B)}$.
• ${\displaystyle {\mbox{Cl}}\left(A\cup B\right)={\mbox{Cl}}(A)\cup {\mbox{Cl}}(B)}$.
• ${\displaystyle f}$ היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל ${\displaystyle A}$ בתחום שלה מתקיים ${\displaystyle f\left({\mbox{Cl}}(A)\right)\subseteq {\mbox{Cl}}\left(f(A)\right)}$.
• אם ${\displaystyle A}$ קבוצה קשירה, לכל ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq {\mbox{Cl}}(A)}$ מתקיים שגם ${\displaystyle B}$ קבוצה קשירה. בפרט, הסגור של קבוצה קשירה גם הוא קשיר.
• קבוצה ${\displaystyle A}$ במרחב ${\displaystyle X}$ המקיימת ${\displaystyle {\mbox{Cl}}(A)=X}$ נקראת קבוצה צפופה.
• קבוצה ${\displaystyle A}$ במרחב ${\displaystyle X}$ המקיימת ${\displaystyle {\mbox{Int}}\left({\mbox{Cl}}(A)\right)=\emptyset }$ נקראת קבוצה דלילה.

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים.

קישורים חיצוניים

• סגור, באתר MathWorld (באנגלית)