משוואות פרידמן

משוואות פרידמן הן משוואות דיפרנציאליות המתארות את התפשטות היקום כתלות בצפיפות היקום (הצפיפות הכוללת של טנזור המאמץ-מסה-אנרגיה). קרויות על שם אלכסנדר פרידמן, שגילה אותן בשנת 1922.^[1]

משוואות אלה נובעות מהצבת מטריקת פרידמן-למטר-רוברטסון-ווקר $${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+R^{2}(t)\left({\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}d\Omega ^{2}\right)}$$ של יקום הומוגני ואיזוטרופי במשוואות איינשטיין של תורת היחסות הכללית. משוואות פרידמן הן זוג משוואות דיפרנציאליות המתאר את התפתחותו של פרמטר הסקלה של היקום ${\displaystyle R(t)}$ כתלות בזמן.

משוואות אלה הן: $${\displaystyle \left({\frac {\dot {R}}{R}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -k{\frac {c^{2}}{R^{2}}}+{\frac {\Lambda }{3}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\ddot {R}}{R}}=-{\frac {4\pi G}{3c^{2}}}(\rho c^{2}+3P)+{\frac {\Lambda }{3}}}$$ כאשר ${\displaystyle \Lambda }$ הוא הקבוע הקוסמולוגי של איינשטיין, ${\displaystyle \rho }$ היא צפיפות המסה-אנרגיה הרגילה ו־P הוא הלחץ. הגודל ${\displaystyle k}$ מבטא את העקמומיות של היקום ויכול לקבל אחד מ-3 ערכים: 1+ (יקום כדורי), 1- (יקום היפרבולי) ו-0 (יקום שטוח).

מצמד משוואות אלה אפשר להסיק משוואה שלישית שימושית: $${\displaystyle {\dot {\rho }}c^{2}=-3{\frac {\dot {R}}{R}}(\rho c^{2}+P)}$$ משוואה זו מבטאת שימור אנרגיה.

כדי לפתור משוואות אלו יש לדעת את משוואות המצב של היקום (אלה משוואות המקשרות בין הלחץ לצפיפות, והן נובעות מהפיזיקה של היקום) וכן את ערכי הפרמטרים ${\displaystyle k}$ (עקמומיות היקום) ו־${\displaystyle \rho }$ (צפיפות היקום).

הגודל ${\displaystyle H(t)={\frac {{\dot {R}}(t)}{R(t)}}}$ נקרא קבוע האבל (אף על פי שהוא משתנה בזמן).

פרמטר הצפיפות

פרמטר הצפיפות (באנגלית: Density parameter), המסומן באות היוונית אומגה ${\displaystyle \ \Omega }$, הוא היחס בין צפיפות החומר הממוצעת ביקום לצפיפות הקריטית (Critical density), גודל הניתן לחישוב.

גודלו של פרמטר הצפיפות קובע את צורת היקום מבחינת הגאומטריה שלו. אם גודלו גדול מ-1, הגאומטריה ספירית; אם גודלו קטן מ-1; הגאומטריה היפרבולית; ואם גודלו שווה ל-1, הגאומטריה שטוחה. ללא קיומה של אנרגיה אפלה, גאומטריה ספירית שקולה ליקום סגור הגדל עד לגודל מסוים ואז מתחיל להתכווץ. כיום ידוע על קיומה של אנרגיה אפלה, ועל כן אפשרות זו של יקום מתכווץ בעתיד הרחוק לא תיתכן.

מדידות עקיפות מראות שגודלו של פרמטר הצפיפות הוא 1 או קרוב מאוד ל-1.

ראו גם

• קבוע האבל
• התפשטות היקום
• צפיפות היקום
• חומר אפל
• המפץ הגדול
• הקבוע הקוסמולוגי

הערות שוליים

1. Friedman, A (1922). "Über die Krümmung des Raumes". Zeitschrift für Physik. 10 (1): 377–386

ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.