צפיפות קוונטית

הריכוז הקוונטי (נקרא גם לפעמים הצפיפות הקוונטית ומסומן ב n_Q) הוא צפיפות החלקיקים במערכת (היחס בין כמות החלקיקים לנפח המערכת) שבה המרחק הבין חלקיקי הוא אורך הגל התרמי של דה ברולי. הריכוז הקוונטי מחושב לפי^[1]:

${\displaystyle n_{Q}=[{\frac {M\tau }{2\pi \hbar ^{2}}}]^{\frac {3}{2}}}$

כאשר -
M מסת כל החלקיקים במערכת.
${\displaystyle \hbar }$ קבוע פלאנק המצומצם.

${\displaystyle \tau }$ הטמפרטורה היסודית של המערכת, מחושבת על ידי הכפלת הטמפרטורה ביחידות הסטנדרטיות בקבוע בולצמן (${\displaystyle \tau =k_{B}T}$).

על מערכות בהן ריכוז החלקיקים גדול או שווה לריכוז הקוונטי נגיד כי הן נמצאות בתחום הקוונטי ובהן נוכל לצפות בתופעות המתוארות על ידי מכניקת הקוונטים, על יתר המערכות נגיד כי הן נמצאת בגבול הקלאסי.
לדוגמה עבור מערכת המורכבת מגז פרוטונים בטמפרטורות החדר הריכוז הקוונטי הוא בסדר גודל של חלקיק אחד לאנגסטרם מקובה.
הריכוז הקוונטי תלוי בטמפרטורה. כיוצא מכך עבור טמפרטורות גבוהות רוב המערכות יהיו בגבול הקלאסי, למעט אלו שצפיפות החלקיקים בהן גבוהה מאוד (למשל ננס לבן).
עבור גז אידיאלי ניתן לכתוב את משוואת סקאר-טטרוד במונחים של הריכוז הקוונטי:
${\displaystyle \sigma =N[{\frac {5}{2}}+\ln({\frac {n_{Q}}{n}})]}$

כאשר -
N מספר החלקיקים במערכת.
n צפיפות החלקיקים.
${\displaystyle \sigma }$ האנטרופיה היסודית של המערכת, מחושבת על ידי חילוק האנטרופיה הקונבנציונלית בקבוע בולצמן (${\displaystyle \sigma ={\frac {S}{k_{B}}}}$)
בנוסף, גבול הקלאסי ניתן לחשב את פונקציית החלוקה של גז אידיאלי מונואטומי המורכב מ N חלקיקים בעלי ספין 0 בנפח V כ - ${\displaystyle Z_{N}={\frac {(n_{Q}V)^{N}}{N!}}}$

לקריאה נוספת

הרחבה על אורך גל דה ברולי - https://www.usna.edu/Users/physics/mungan/_files/documents/Scholarship/ThermalDeBroglie.pdf

הערות שוליים

1. פיזיקה תרמית מאת צארלס קיטל והרברט קרומר - קישור לספר