מרחק בין-חלקיקי ממוצע

מרחק בין-חלקיקי ממוצע (באנגלית: Mean inter-particle distance), או הפרדה בין-חלקיקית ממוצעת, הוא המרחק הממוצע בין חלקיקים מיקרוסופיים קרובים ביותר (אטומים או מולקולות) בגוף מקרוסקופי.

צורה כללית

משיקולים כלליים ביותר, המרחק הבין-חלקיקי הממוצע קשור לנפח פר חלקיק של החומר ${\displaystyle 1/n}$, כלומר:

${\displaystyle \langle r\rangle \sim 1/n^{1/3},}$

כאשר ${\displaystyle n=N/V}$ היא צפיפות החלקיקים. את הצורה הכללית קל להסיק משיקולים של קינום, אך עם זאת, למעט מקרים פשוטים ספורים כמו למשל של גז אידיאלי, חישובים מדויקים לקביעת פקטור הפרופורציונליות בלתי אפשריים אנליטית; זה תלוי בגאומטריה המדויקת של סידור האטומים. לכן, לעיתים קרובות נעשה שימוש בביטויים מקורבים. ביטוי מקורב אחד כזה הוא Wigner-Seitz radius:

${\displaystyle \left({\frac {3}{4\pi n}}\right)^{1/3},}$

אשר מתאים לרדיוס של כדור שיש לו נפח זהה לזה של הנפח פר חלקיק ${\displaystyle 1/n}$. הגדרה פופולרית אחרת היא: ${\displaystyle 1/n^{1/3}}$, אשר מתאימה לאורך הצלע של קובייה שלה נפח ${\displaystyle 1/n}$.

גז אידיאלי

התפלגות המרחק מהשכן הקרוב ביותר

נרצה לחשב פונקציית צפיפות ההסתברות של המרחק לחלקיק השכן הקרוב ביותר. נניח שישנם N חלקיקים בתוך אזור שלו נפח V. חלקיק שכן קרוב ביותר במרחק ${\displaystyle r}$ פירושו של דבר שבדיוק אחד מ-N החלקיקים נח במרחק הזה בעוד שאר ${\displaystyle N-1}$ החלקיקים נמצאים במרחק גדול יותר ממרחק זה, כלומר הם נמצאים מחוץ לכדור עם רדיוס ${\displaystyle r}$.

ההסתברות למצוא חלקיק בין רדיוסים ${\displaystyle r}$ ו-${\displaystyle r+dr}$ היא ${\displaystyle (4\pi r^{2}N/V)dr}$, בעוד ההסתברות למצוא חלקיק מחוץ לכדור הזה היא ${\displaystyle 1-4\pi r^{3}/3V}$. לפיכך הביטוי לצפיפות ההסתברות הוא:

${\displaystyle P_{N}(r)dr=4\pi r^{2}dr{\frac {N}{V}}\left(1-{\frac {4\pi }{3}}r^{3}/V\right)^{N-1}={\frac {3}{a}}\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}dr\left(1-\left({\frac {r}{a}}\right)^{3}{\frac {1}{N}}\right)^{N-1}\,}$

כאשר a הוא פרמטר ששווה ל-${\displaystyle a=\left({\frac {3}{4\pi n}}\right)^{1/3}.}$. אם ניקח את הגבול של ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$ ונשתמש ב-${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}$, נקבל את התוצאה:

${\displaystyle P(r)={\frac {3}{a}}\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}e^{-(r/a)^{3}}\,.}$

השוואה עם מהלך חופשי ממוצע

ההבדל המרכזי בין המהלך החופשי הממוצע למרחק הבין חלקיקי הממוצע הוא שהאחרון תלוי בצפיפות החלקיקים בלבד, בעוד שהמהלך החופשי הממוצע הוא פונקציה של צפיפות החלקיקים ושל גודל החלקיקים (חתך הפעולה האפקטיבי שלהם).