פונקציית התפלגות

בתורת ההסתברות, פונקציית התפלגות, פונקציית הצטברות או פונקציית התפלגות מצטברת (פה"מ) (באנגלית: Cumulative distribution function, בראשי תיבות: CDF) של משתנה מקרי היא פונקציה של משתנה מקרי X, שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה ${\displaystyle \ X\leq a}$, לכל a ממשי. פונקציה זו מהווה הכללה של פונקציית הסתברות שעוסקת במשתנה מקרי בדיד, גם למשתנה מקרי רציף.

תכונות מופשטות והקשר למשתנים מקריים

אם X משתנה מקרי, פונקציית ההתפלגות המוגדרת על ידי: ${\displaystyle \ F_{X}(a)=\operatorname {Pr} (X\leq a)}$ מקיימת בהכרח ארבע תכונות:

1. הגבול ${\displaystyle \ \lim _{a\rightarrow -\infty }F_{X}(a)}$ שווה ל-0.
2. הגבול ${\displaystyle \ \lim _{a\rightarrow \infty }F_{X}(a)}$ שווה ל-1.
3. הפונקציה מונוטונית עולה (במובן החלש), כלומר ${\displaystyle \ F_{X}(a)\leq F_{X}(b)}$ לכל ${\displaystyle \ a\leq b}$.
4. הפונקציה רציפה מימין.

ולהפך: אם F היא פונקציה המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי כך ש-F היא פונקציית ההתפלגות שלו. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת לאלגברת בורל על הממשיים. עם זאת, מכיוון שהקטעים יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות ${\displaystyle \ a<X<b}$. ואכן, אם דורשים ש- ${\displaystyle \ \operatorname {Pr} (X\leq a)=F(a)}$, נובע שהגבול משמאל ${\displaystyle \ \lim _{x\rightarrow b^{-}}F(b)}$ שווה להסתברות ${\displaystyle \ \operatorname {Pr} (X<b)}$. מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה ${\displaystyle \ a<X<b}$, ${\displaystyle \ a<X\leq b}$, ${\displaystyle \ a\leq X<b}$ ו- ${\displaystyle \ a<X<b}$.

בפרט נובע ש-${\displaystyle \ P(X=b)=F_{X}(b)-\lim _{x\rightarrow b^{-}}F_{X}(x)}$, כך שהסיכוי למאורעות ${\displaystyle \ X=b}$ הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה. אם הפונקציה גזירה, אפשר לתאר אותה כאינטגרל של פונקציית צפיפות f:

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt.}$

דוגמאות

קובייה

נניח ש-${\displaystyle X}$ הוא תוצאת ההטלה של קובייה הוגנת, כלומר הוא יכול לקבל כל אחד מהמספרים: 1, 2, 3, 4, 5, 6 בסיכוי שווה (סיכוי 1/6 כל אחד. למעשה זוהי התפלגות אחידה בדידה).

אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של ${\displaystyle X}$ נתונה על ידי:

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&:\ x<1\\1/6&:\ 1\leq x<2\\2/6&:\ 2\leq x<3\\3/6&:\ 3\leq x<4\\4/6&:\ 4\leq x<5\\5/6&:\ 5\leq x<6\\1&:\ x\geq 6.\end{cases}}}$

התפלגות ברנולי

דוגמה נוספת: נניח ש-${\displaystyle X}$ הוא משתנה מקרי ברנולי, כלומר הוא יכול לקבל רק את הערכים 0 ו-1, והוא מקבל את הערך 1 בסיכוי ${\displaystyle p}$, ואת הערך 0 בסיכוי ${\displaystyle 1-p}$ (למשל: אם ${\displaystyle p=40\%}$ אז ${\displaystyle 1-p=60\%}$).

אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של ${\displaystyle X}$ נתונה על ידי:

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&:\ x<0\\1-p&:\ 0\leq x<1\\1&:\ x\geq 1.\end{cases}}}$

כי ההסתברות ש-${\displaystyle X}$ יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן או שווה ל-1 היא 100%, וההסתברות שהוא יקבל ערך גדול-שווה מ-0 אך קטן מ-1 היא ${\displaystyle 1-p}$.

התפלגות אחידה רציפה

נניח ש-${\displaystyle X}$ מתפלג באופן אחיד בקטע [0, 1]. אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של ${\displaystyle X}$ נתונה על ידי:

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&:\ x<0\\x&:\ 0\leq x<1\\1&:\ x\geq 1.\end{cases}}}$

כי ההסתברות שהמשתנה המקרי ${\displaystyle X}$ יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן מ-x היא 100% לכל x>1, וההסתברות למאורע ${\displaystyle \ X\leq x}$ לכל מספר ${\displaystyle x}$ בין 0 ל-1 היא ${\displaystyle x}$.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית התפלגות בוויקישיתוף

• פונקציית התפלגות, באתר MathWorld (באנגלית)