קבוצת בורל

קבוצת בורל היא קבוצה השייכת לסיגמא-אלגברה של בורל של מרחב טופולוגי נתון. סיגמא-אלגברה זו נוצרת על ידי הקבוצות הפתוחות שבמרחב. לעיתים מגדירים סיגמא-אלגברה זו להיות נוצרת על ידי הקבוצות הקומפקטיות. באופן כללי זו אינה הגדרה שקולה, אבל במרחב מטרי ספרבילי שהוא קומפקטי מקומי שתי ההגדרות מזדהות. המונח קרוי על שמו של אמיל בורל.

בישר הממשי

הדוגמה המפורסמת ביותר היא הסיגמא-אלגברה של הישר הממשי, הנוצרת על ידי הקטעים הפתוחים.

• כל קבוצה פתוחה היא קבוצת בורל.
• כל קבוצה סגורה היא קבוצת בורל (סגירות תחת משלים).
• כל קטע (פתוח או סגור; חצי פתוח; סופי או לא) הוא קבוצת בורל.
• כל איחוד בן מנייה של קבוצות סגורות (קבוצה ${\displaystyle F_{\sigma }}$) הוא קבוצת בורל.
• כל חיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות (קבוצה ${\displaystyle G_{\delta }}$) הוא קבוצת בורל.
• כל איחוד או חיתוך בן-מנייה של הקבוצות לעיל גם הוא קבוצת בורל.

ניתן להגדיר את סיגמא-אלגברת בורל בישר הממשי באופן קונסטרוקטיבי באמצעות אינדוקציה טרנספיניטית. מגדירים את ${\displaystyle B_{0}}$ כקבוצת כל הקבוצות שהן פתוחות או סגורות. לכל סודר עוקב ${\displaystyle \alpha +1}$ מגדירים את ${\displaystyle B_{\alpha +1}}$ כקבוצת כל האיחודים בני המנייה של איברי ${\displaystyle B_{\alpha }}$, או משלימים של איחודים כאלה. לכל סודר גבולי ${\displaystyle \gamma }$ מגדירים ${\displaystyle B_{\gamma }=\bigcup _{\beta <\gamma }B_{\beta }}$. אלגברת בורל היא הקבוצה ${\displaystyle B_{\omega _{1}}}$, כאשר ${\displaystyle \omega _{1}}$ הוא הסודר הקטן ביותר שאינו בן מנייה.^[1]

כל קבוצת בורל היא קבוצה מדידה לפי מידת לבג (משמע אפשר להתאים לה "אורך"). מידת לבג כשהיא מצומצמת לאלגברת בורל נקראת מידת בורל.

מהבנייה הקונסטרוקטיבית של קבוצות בורל נובע שיש ${\displaystyle \aleph }$ (עוצמת הרצף) קבוצות בורל. הרבה פחות מאשר הקבוצות המדידות לבג, הכוללות את קבוצות בורל, ומהן יש ${\displaystyle 2^{\aleph }}$.

ראו גם

• דוגמה לקבוצה מדידה לבג שאינה קבוצת בורל

קישורים חיצוניים

• קבוצת בורל, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. עוד כמה מילים על סודרים ואינדוקציה טרנספיניטית, מהומה רבה על לא דבר