משפט שטיינר-הויגנס

משפט שטיינר-הויגנס (נקרא גם משפט הצירים המקבילים, או רק משפט שטיינר, נקרא על שם יאקוב שטיינר וכריסטיאן הויגנס אשר הוכיחו אותו) הוא משפט במכניקה העוסק במומנטי התמד של המסה ומומנט התמד של שטח חתך. לפי המשפט, המומנט סביב ציר כלשהו שווה למומנט סביב מרכז הכובד, ועוד ריבוע המרחק בין הציר למרכז הכובד, כפול קבוע. בכך המשפט אנלוגי לפירוק התוחלות ${\displaystyle E(X^{2})=V(X)+E(X)^{2}}$, כאשר ${\displaystyle V(X)}$ היא השונות של המשתנה המקרי X.

מקרה כללי בו אפשר ליישם את משפט שטיינר-הויגנס

דוגמה לנתוני מומנט ההתמד של שטחים מסוימים סביב ציר העובר במרכז הכובד שלהם.

אם ידוע לנו מומנט ההתמד של גוף או של שטח סביב ציר העובר דרך מרכז המסה שלו, אזי נוכל למצוא את מומנט ההתמד שלו בקלות סביב כל ציר מקביל אחר המרוחק מרחק ${\displaystyle r}$ מהציר הראשון באמצעות משפט שטיינר-הויגנס. בנוסף, נפוץ השימוש במשפט על מנת לחשב במדויק שינויים במומנט התמד סביב ציר נתון בשל שינוי מרכז המסה (הוספת\החסרת משקל).

משפט שטיינר-הויגנס מנוסח עבור מומנטי התמד של המסה: $${\displaystyle I_{s}=I_{cm}+mr^{2}}$$ משפט שטיינר-הויגנס מנוסח באופן דומה עבור מומנטי ההתמד של השטח: $${\displaystyle I_{s}=I_{c}+Ar^{2}}$$

• ${\displaystyle I_{s}}$ - הוא מומנט ההתמד סביב ציר נתון S.
• ${\displaystyle I_{c}}$ - הוא מומנט ההתמד סביב ציר C.
• ${\displaystyle I_{cm}}$ - הוא מומנט ההתמד של הגוף סביב ציר C העובר במרכז המסה שלו.
• ${\displaystyle m}$ - היא מסת הגוף שאת מומנט ההתמד שלו מחשבים.
• ${\displaystyle A}$ - הוא שטח החתך שאת מומנט ההתמד שלו מחשבים.
• ${\displaystyle r}$ - הוא המרחק בין ציר ${\displaystyle I_{s}}$ לבין ציר ${\displaystyle I_{cm}}$

מומנט ההתמד עבור ציר המקביל לציר שמומנט ההתמד עבורו ידוע, שווה לאותו מומנט התמד ועוד מסת הגוף או שטח הגוף כפול המרחק בין הצירים בריבוע.

משפט שטיינר-הויגנס שימושי גם במכניקה של גוף תלת־ממדי וגם בתחום הסטטיקה, בהנדסה אזרחית ובהנדסת מכונות עבור חישוב מומנטי התמד סביב צירים כלשהם כאשר ידוע מומנט ההתמד סביב ציר מסוים, בדרך כלל מרכז המסה או מרכז הכובד. נתוני מומנטי ההתמד סביב מרכז הכובד מופיעים בלוחות טכניים.

הוכחה

עבור גוף קשיח כלשהו, מניחים, ללא הגבלת הכלליות, כי במערכת צירים קרטזית המרחק האנכי מציר s, לציר סיבוב מקביל לו, העובר דרך מרכז המסה, הוא לאורך ציר ה-x ,כך שציר הסיבוב מקביל לציר ה-z. לצורך החישוב, נוח למקם את ראשית הצירים במרכז המסה של הגוף. לפיכך, מומנט ההתמד של הגוף יחסית למרכז המסה הוא:

$${\displaystyle I_{cm}=\int {(x^{2}+y^{2})}dm}$$

מומנט האינרציה ביחס לציר הנתון s (המצוי במרחק ${\displaystyle r}$ לאורך ציר ה-x, ממרכז המסה) הוא:

${\displaystyle I_{s}=\int {\left[(x-r)^{2}+y^{2}\right]}dm}$

על ידי פתיחת הסוגריים וליניאריות האינטגרל, מתקבל:

${\displaystyle I_{s}=\int {(x^{2}+y^{2})}dm+r^{2}\int dm-2r\int {x}dm}$

האיבר הראשון הוא ${\displaystyle I_{cm}}$, האיבר השני הוא ${\displaystyle mr^{2}}$, ואילו האיבר השלישי מתאפס משום ש-x נמדד ממרכז המסה (האינטגרל שווה, עד כדי כפל במסה הכוללת, למיקום רכיב ציר ה-x של מרכז המסה, וביחס למרכז המסה ערכו של רכיב זה הוא 0).

כלומר מתקבל הביטוי:

$${\displaystyle I_{s}=I_{cm}+mr^{2}}$$

כנדרש.

הכללה עבור טנזור האינרציה

ניתן להוכיח באופן דומה כי בהינתן J_ij טנזור ההתמד (טנזור האינרציה) ביחס לנקודה P שרירותית ו- I_ij, טנזור האינרציה ביחד למרכז המסה G, מתקיים:

$${\displaystyle J_{ij}=I_{ij}+m(\|{\boldsymbol {PG}}\|^{2}\delta _{ij}-PG_{i}PG_{j})\!}$$

כאשר

${\displaystyle {\boldsymbol {PG}}=PG_{1}{\boldsymbol {e_{1}}}+PG_{2}{\boldsymbol {e_{2}}}+PG_{3}{\boldsymbol {e_{3}}}\!}$

הוא הווקטור המחבר בין P ל- G, ו-${\displaystyle \delta _{ij}\!}$ הוא הדלתא של קרונקר.

נשים לב שאם טנזור ההתמד הוא אלכסוני, נקבל את המקרה הפשוט המצוין לעיל.

(הערה - הווקטורים העצמיים אשר מלכסנים את טנזור ההתמד התלת־ממדי הם הצירים הראשיים של המערכת. במקרה ולגוף יש סימטריות לסיבוב, צירי הסיבוב יתלכדו עם הצירים הראשיים).

ראו גם

• מומנט התמד
• טנזור התמד
• מומנט ההתמד של השטח

לקריאה נוספת

• Sybil P. Parker, McGraw Hill Encyclopedia of Engineering, 1983. page 691.
• McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms, 6th ed. by The McGraw-Hill Companies, 2003
• Irving H. Shames, Engineering Mechanics, Prentic - Hill International Inc. 1970

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט שטיינר-הויגנס בוויקישיתוף

• משפט הצירים המקבילים(אנגלית)
• משפט הצירים המקבילים, efanda
• משפט הצירים המקבילים לפי מילון המדע והטכנולוגיה של מקגרו הילל

---