משפט פרובניוס (תורת החבורות)

משפט פרובניוס בתורת החבורות, אומר שלכל מחלק $d$ של הסדר של חבורה $G$ , מספר האיברים בחבורה הפותרים את המשוואה $x^{d}=1$ מתחלק ב- $d$ . המשפט נקרא ע"ש פרדיננד גאורג פרובניוס שהוכיח אותו בשנת 1895^[1].

תהי G חבורה ויהי $d$ מחלק של הסדר $|G|$ . נסמן ב $A_{d}=\{x\in G\mid x^{d}=e\}$ את אוסף האיברים מסדר המחלק את $d$ . אזי $d\mid |A_{d}|$ .

נעזר בעובדה הבאה מתורת החבורות:

כל איבר מסדר $nm$ , כאשר $n,m$ זרים, אפשר לפרק בצורה $x=yz$ כאשר $zy=yz=x,o(y)=n,o(z)=m$ (למעשה אפשר לבחור את $y,z$ להיות חזקות של $x$ ).

נעזר גם בלמה הבאה:

למה: לכל n אם $A_{n}$ לא ריקה אז $\phi (n)\mid |A_{n}|$ כאשר $\phi$ היא פונקציית אוילר. בנוסף אם $d\mid |G|$ מהצורה $d=p^{\alpha }s$ כאשר $p^{\alpha +1}\mid |G|,(p,s)=1$ ואם $A=A_{dp}\setminus A_{d}$ אז $A$ ריקה או ש $\phi (p^{\alpha +1})\mid |A|$ .

הוכחה: נתבונן ביחס השקילות הבא: $x\equiv y\iff \langle x\rangle =\langle y\rangle$ , כלומר הם יוצרים אותה תת-חבורה. מתקיים $x\equiv x^{t}\iff (t,o(x))=1$ . לכן מס' האיברים במחלקת השקילות של x הוא $\phi (o(x))$ . מקבלים ש $A_{n}$ איחוד של מחלקות שקילות של איברים מסדר n ונקבל ש $\phi (n)\mid |A_{n}|$ . נרשום את A בצורה הבאה: $A=\{x\in G\mid o(x)=p^{\alpha +1}s_{1},s1\mid s\}$ . אם A אינה ריקה נקבל ש $A=\bigcup _{s1\mid s}\bigcup _{o(x_{i})=p^{\alpha +1}s_{1}}[x]$ כאשר $[x]$ מסמן את המחלקה של $x$ . כל אחת מהחלקות המשתתפות באיחוד מתחלקת ב $\phi (p^{\alpha +1}s_{1})=\phi (p^{\alpha +1})\phi (s_{1})$ . ונקבל את הדרוש.

הוכחת המשפט:

יהו $d\mid n:=|G|$ . ההוכחה באינדוקציה כפולה על $n,d$ . מקרה הבסיס $n=1$ או $d=n$ טריוויאליים. נניח שהוכחנו לכל חבורה קטנה יותר ולכל מחלק גדול יותר של החבורה נראה נכונות עבור d,n: יהי $p\mid {\tfrac {|G|}{d}},d=p^{\alpha }s,(s,p)=1$ . תהי $A=A_{dp}\setminus A_{d}$ . מתקיים $|A_{d}|=|A_{dp}|-|A|$ .

מאינדוקציה נקבל כי $dp\mid |A_{dp}|$ ולכן מספיק להראות ש $d\mid |A|$ . אם A ריקה זה ברור. נניח ש-A אינה ריקה. מהלמה $p^{\alpha }(p-1)=\phi (p^{\alpha +1})\mid |A|$ ולכן מספיק להראות ש $s\mid |A|$ . נרשום $A=\{x\in G\mid o(x)=p^{\alpha +1}s_{1},s1\mid s\}$ ומהעובדה שצוטטה לעיל נקבל שלכל x ב-A ישנם y,z כך ש $x=yz=zy,o(y)=p^{\alpha +1},z^{s}=e$ . נסמן ב $C(a)=C(\langle a\rangle )$ את המרכז של a וב $\operatorname {conj} (a)$ את מחלקת הצמידות של $a$ . עבור $a$ ב $G$ נגדיר $S_{a}=\{ab\mid b^{s}=e,b\in C(a)\},S_{\operatorname {conj} (a)}=\bigcup _{x\in \operatorname {conj} (a)}S_{x}$ . מקבלים ש $A=\bigcup _{o(a)=p^{\alpha +1}}S_{a}$ . נראה שזהו איחוד זר. אכן יהיו $o(a)=o(a_{1})=p^{\alpha +1},ab=ba=b_{1}a_{1}=a_{1}b_{1},b^{s}=b_{1}^{s}=1$ . נקבל ש $a^{s}=a^{s}b^{s}=(ab)^{s}=(a_{1}b_{1})^{s}=a_{1}^{s}b_{1}^{s}=a_{1}^{s}$ . כיוון ש $o(a)=o(a_{1})=p^{\alpha +1}$ וכן $(s,p)=1$ נקבל ש $a=a_{1}$ והראנו שהאיחוד זר. לכן מספיק להראות ש $s\mid |S_{\operatorname {conj} (a)}|$ לכל a מסדר $p^{\alpha +1}$ . נשים לב שהעתקה $\Phi \colon S_{a}\to S_{x^{-1}ax},ab\to x^{-1}axx^{-1}bx$ היא התאמה חח"ע ועל ולכן $|S_{\operatorname {conj} (a)}|=|\operatorname {conj} (a)||S_{a}|$ . יהי $k=|C(a)/\langle a\rangle |,m=(s,k)$ . ההתאמה $ab\to b\langle a\rangle$ היא התאמה חח"ע ועל מ $S_{a}$ ל $\{y\in C(a)/\langle a\rangle \mid y^{s}=e\}=\{y\in C(a)/\langle a\rangle \mid y^{m}=e\}$ . כיוון ש-k<n נקבל מהנחת האינדוקציה ש $m\mid |\{y\in C(a)/\langle a\rangle \mid y^{m}=e\}|=|S_{a}|$ ולכן $|S_{a}|=cm$ . ממשפט מסלול מייצב נקבל ש $|\operatorname {conj} (a)|={\tfrac {|G|}{|C(a)|}}$ ולכן $|S_{\operatorname {conj} (a)}|=|\operatorname {conj} (a)||S_{a}|={\tfrac {|G||S_{a}|}{|C(a)|}}={\tfrac {ncm}{kp^{\alpha +1}}}$ . כיוון שגם $k$ וגם $s$ מחלקים את $n$ נקבל שגם הכפולה המשותפת המינימלית שלהם $\operatorname {lcm} (k,s)={\tfrac {ks}{m}}$ מחלקת את $n$ . לכן $s$ מחלק את ${\tfrac {ncm}{k}}$ . מכיוון ש $(s,p)=1$ נקבל ש $s\mid |S_{\operatorname {conj} (a)}|$ וסיימנו.

1) משפט פרובניוס מאפשר להראות שחבורות רבות אינן פשוטות ואפילו לתאר את המבנה שלהם.

מסקנה 1: תהי G חבורה כך ש $|G|=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{\alpha _{i}}$ ו $p_{i}$ סדרה עולה. נניח שכל תת חבורה p סילו היא ציקלית. במקרה כזה תת-חבורת $p_{r}$ סילו היא נורמלית ב $G$ ובנוסף $G$ חבורה פתירה. בפרט אם $|G|$ חופשית מריבועיים אז היא פתירה ותת חבורת $p_{r}$ סילו שלה היא נורמלית.

הוכחה: נוכיח באינדוקציה על $d$ ש $d=|A_{d}|$ עבור $d\mid |G|$ כך ש $d=p_{k}^{\beta _{k}}\prod _{i=k+1}^{r}p_{i}^{\alpha _{i}}1\leq k\leq r,\beta _{k}\leq \alpha _{k}$ . המקרה של $d=|G|$ ברור. נניח שהראנו לכל מחלק $d'$ מהצורה לעיל הגדול מ $d$ , ונוכיח כעת עבור $d$ . יהי $p$ המחלק הראשוני הגדול ביותר של ${\tfrac {|G|}{d}}$ . תהי $A=A_{dp}/A_{d}$ . כיוון שחבורות $p$ סילו ציקליות, $A$ לא ריקה. מהנחת האינדוקציה $|A_{dp}|=dp$ . ממשפט פרובניוס קיים $1\leq t<p$ כך ש $|A_{d}|=dt$ . מהלמה בהוכחת משפט פרובניוס נקבל ש $p-1\mid dp-dt=d(p-t)$ מהצורה של $d$ כל מחלק של $d$ הוא לפחות $p$ ולכן $(p-1,d)=1$ לכן $p-1\mid (p-t)$ ולכן $t=1$ . קיבלנו לכן ש $d=|A_{d}|$ עבור d מהצורה הנ"ל. בפרט עבור $d=p_{r}^{\alpha _{r}}$ נקבל ש $|A_{p_{r}^{\alpha _{r}}}|=p_{r}^{\alpha _{r}}$ ונקבל שתת-חבורת ה $p_{r}$ סילו $N$ יחידה ולכן נורמלית. מאינדוקציה $N$ , $G/N$ פתירות ונקבל את הדרוש. ה"בפרט" נובע מכך שכל חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית.

באופן דומה מוכיחים את המסקנה הנוספת הבאה:

מסקנה 2: לכל n קיימת חבורה בגודל n שאינה ציקלית אמ"מ $(n,\phi (n))\neq 1$ .

2) על ידי חישוב $|A_{d}|$ בחבורות ספציפיות ניתן לקבל זהויות בתורת המספרים. למשל לכל ראשוני p ולכל $p\leq n$ על ידי חישוב $|A_{p}|$ בחבורה הסימטרית $S_{n}$ ניתן להראות כי מתקיים: $\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{p}}\right\rfloor }{\tfrac {n!}{p^{k}k!(n-pk)!}}\equiv -1{\pmod {p}}$ .

גרסה כללית יותר (הול 1959 משפט 9.1.1) היא שאם $C$ היא מחלקת צמידות עם $h$ איברים אזי מספר האיברים $k$ כך ש $k^{n}$ נמצא ב $C$ מתחלק ב $(hn,|G|)$ ^[2].
פרובניוס שיער שאם $d\mid |G|$ ו $d=|A_{d}|$ אז $A_{d}\vartriangleleft G$ , תת-חבורה נורמלית של $G$ . ההשערה הוכחה בשנת 1991 תוך שימוש במשפט המיון לחבורות סופיות פשוטות לאחר עבודה רבה^[3].