משפטי סילו

משפטי סילו הם משפטים בתורת החבורות, העוסקים בתת-חבורות-p מקסימליות של חבורה סופית. חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני ${\displaystyle p}$ נקראות חבורות p, וכולן נילפוטנטיות. משפטי סילו מאפשרים לחקור חבורות סופיות באמצעות תת-חבורות כאלה והפעולה שלה עליהן, ומכאן המעמד היסודי שלהן בתורת החבורות.

את המשפטים הוכיח המתמטיקאי הנורווגי לודוויג סילו בשנת 1872, והם מכלילים את משפט קושי שנוגע למקרה ${\displaystyle n=1}$.

במובן מסוים, משפטי סילו הפוכים למשפט לגראנז'. לפי משפט לגראנז', הסדר של תת-חבורה ${\displaystyle H}$ של ${\displaystyle G}$ חייב לחלק את הסדר של ${\displaystyle G}$. משפטי סילו מראים שאם נתון מחלק ${\displaystyle q}$ של הסדר של ${\displaystyle G}$ שהוא חזקת ראשוני, אז אפשר למצוא תת-חבורה מסדר ${\displaystyle q}$. משפטי סילו קובעים גם שכל תת-החבורות שסדרן הוא חזקת-${\displaystyle p}$ מקסימלית, צמודות זו לזו.

הגדרות

אם ${\displaystyle p}$ הוא מספר ראשוני המחלק את הסדר של החבורה הסופית ${\displaystyle G}$, אז קיימת חזקה מקסימלית של ${\displaystyle p}$ המחלקת את הסדר. כלומר ${\displaystyle p^{n}}$ מחלק את סדר החבורה, אבל ${\displaystyle p^{n+1}}$ אינו מחלק. לתת-חבורה של ${\displaystyle G}$ שסדרה שווה ל-${\displaystyle p^{n}}$ קוראים חבורת p-סילו של ${\displaystyle G}$. הגדרה שימושית אחרת לאותו מושג: חבורת ${\displaystyle p}$-סילו היא תת-חבורה של ${\displaystyle G}$ שהיא חבורת-p, בעלת אינדקס זר ל-${\displaystyle p}$.

לדוגמה, אם ${\displaystyle |G|=24=2^{3}\cdot 3}$ אז תת-חבורה מסדר ${\displaystyle 3}$ היא חבורת ${\displaystyle 3}$-סילו של ${\displaystyle G}$, ותת-חבורה מסדר ${\displaystyle 8}$ היא חבורת ${\displaystyle 2}$-סילו של ${\displaystyle G}$.

ניסוח המשפטים

נניח ש-${\displaystyle G}$ חבורה סופית וש-${\displaystyle p^{n}}$ היא חזקה מקסימלית של ראשוני ${\displaystyle p}$ המחלקת את הסדר של ${\displaystyle G}$. נסמן ב-${\displaystyle n_{p}}$ את מספרן של חבורות p-סילו השונות של ${\displaystyle G}$. נציין מיד שאם ${\displaystyle P}$ חבורת סילו, אז תת-החבורות הצמודות לה גם הן חבורות ${\displaystyle p}$-סילו.

משפט סילו הראשון

לכל חבורה ${\displaystyle G}$ קיימת חבורת ${\displaystyle p}$-סילו. (דהיינו ${\displaystyle n_{p}>0}$).

הכללה של משפט זה קובעת שלכל חזקת ${\displaystyle p}$ המחלקת את הסדר של ${\displaystyle G}$, לאו דווקא החזקה המקסימלית, קיימת תת-חבורה בגודל זה.

משפט סילו השני

כל חבורות ${\displaystyle p}$-סילו של ${\displaystyle G}$ צמודות זו לזו. יתרה מזו, כל תת-חבורה של ${\displaystyle G}$, שהיא חבורת ${\displaystyle p}$, מוכלת באיזושהי חבורת ${\displaystyle p}$-סילו של ${\displaystyle G}$.

מסקנה

חבורת ${\displaystyle p}$-סילו היא יחידה (כלומר ${\displaystyle n_{p}=1}$) אם ורק אם היא תת חבורה נורמלית של ${\displaystyle G}$.

משפט סילו השלישי

מספרן של חבורות ${\displaystyle p}$-סילו של ${\displaystyle G}$ שקול לאחת מודולו ${\displaystyle p}$. כלומר ${\displaystyle n_{p}\equiv 1{\pmod {p}}}$.

מסקנה

${\displaystyle n_{p}}$ מחלק את הסדר של ${\displaystyle G}$. אם נסמן ${\displaystyle |G|=p^{n}m}$ (כאשר n מקסימלי), נובע מכך ש-${\displaystyle n_{p}}$ מחלק את ${\displaystyle m}$, משום שלפי משפט סילו השלישי ${\displaystyle n_{p}}$ זר ל־${\displaystyle p}$.

הוכחה: מספר תת-החבורות הצמודות לתת-חבורה ${\displaystyle H}$ של ${\displaystyle G}$ שווה לאינדקס של המנרמל של ${\displaystyle H}$ ב-${\displaystyle G}$, שהוא תת-חבורה המכילה את ${\displaystyle H}$. אבל המנרמל מכיל את ${\displaystyle H}$, לכן האינדקס שלו מחלק את זה של ${\displaystyle H}$, וממילא הוא זר ל-${\displaystyle p}$.

דוגמאות ושימושים

• נראה שלכל חבורה ${\displaystyle G}$ מסדר ${\displaystyle 105}$ מוכרחה להיות תת-חבורה נורמלית. ${\displaystyle 105=3\cdot 5\cdot 7}$, ולכן יש לחבורה תת-חבורות מסדר ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 5}$ ו-${\displaystyle 7}$. מספרן של החבורות מסדר ${\displaystyle 3}$ שקול ל-${\displaystyle 1}$ מודולו ${\displaystyle 3}$ ומחלק את ${\displaystyle 35}$ - ולכן הוא ${\displaystyle 1}$ או ${\displaystyle 7}$. באופן דומה מספרן של החבורות מסדר ${\displaystyle 5}$ הוא ${\displaystyle 1}$ או ${\displaystyle 21}$, ושל אלו מסדר ${\displaystyle 7}$ הוא ${\displaystyle 1}$ או ${\displaystyle 15}$. אם אחת מחבורות אלו היא יחידה מסדרה, אז היא נורמלית. נניח שאין כזו, אז יש ${\displaystyle 7}$ חבורות מסדר ${\displaystyle 3}$, שכולן ציקליות כמובן. חבורות מסדר ראשוני מוכרחות להיחתך זו עם זו באופן טריוויאלי, ולכן יש בהן ${\displaystyle 7\cdot (3-1)=14}$ איברים מסדר ${\displaystyle 3}$. באופן דומה יש ${\displaystyle 84}$ איברים מסדר ${\displaystyle 5}$ ו-${\displaystyle 90}$ מסדר ${\displaystyle 7}$. ביחד יותר מ-${\displaystyle 105}$, וזה בלתי אפשרי.
• משפט הלדר הכללה של הדוגמה הקודמת.

הוכחות

למשפטי סילו יש הוכחות רבות, למשל באינדוקציה על הסדר של ${\displaystyle G}$. ההוכחה שנציג כאן מבוססת על הפעולה של ${\displaystyle G}$ על קבוצות מסוימות, והיא מיוחסת לנתן ג'ייקובסון.

הוכחת המשפט הראשון. נסמן ב-${\displaystyle X}$ את אוסף כל תת-הקבוצות בגודל ${\displaystyle p^{n}}$ של ${\displaystyle G}$. מכיוון ש-${\displaystyle |X|={|G| \choose p^{n}}={p^{n}m \choose p^{n}}}$, קל לחשב ש-${\displaystyle p}$ אינו מחלק את העוצמה של ${\displaystyle X}$. החבורה פועלת על ${\displaystyle X}$ על ידי כפל משמאל: ${\displaystyle g\colon B\mapsto gB=\{gb:b\in B\}}$.

מכיוון שהגודל של ${\displaystyle X}$ אינו מתחלק ב-${\displaystyle p}$, מוכרח להיות מסלול תחת הפעולה של ${\displaystyle G}$, שגודלו אינו מתחלק ב-${\displaystyle p}$. תהי ${\displaystyle B\in X}$ נקודה באותו מסלול; נבחר ${\displaystyle b\in B}$, אז גם ${\displaystyle b^{-1}B}$ היא נקודה באותו המסלול, והיא מכילה את איבר היחידה של ${\displaystyle G}$. לכן אפשר להניח ש- ${\displaystyle 1\in B}$. מצד אחד, המייצב של ${\displaystyle B}$ מוכל ב-${\displaystyle B}$ (שהרי ${\displaystyle x\in xB=B}$), ולכן גודלו ${\displaystyle p^{n}}$ לכל היותר. מצד שני, האינדקס של המייצב מחלק את ${\displaystyle p^{n}m}$, אבל הוא שווה לגודל המסלול, ולכן זר ל-${\displaystyle p}$ ומחלק את ${\displaystyle m}$. יחד נובע מכאן שגודל המייצב שווה בדיוק ל-${\displaystyle p^{n}}$, ואם כך הוא שווה ל-${\displaystyle B}$; אבל אז ${\displaystyle B}$ היא חבורת ${\displaystyle p}$-סילו.

כעת נסמן ב-${\displaystyle S}$ את אוסף חבורות p-סילו של ${\displaystyle G}$; המשפט הראשון טוען ש-${\displaystyle S}$ אינה ריקה. החבורה ${\displaystyle G}$ פועלת על ${\displaystyle S}$ לפי הצמדה.

טענה. אם תת-קבוצה ${\displaystyle T}$ של ${\displaystyle S}$ סגורה תחת הפעולה, אז גודלה שקול ל-${\displaystyle 1}$ מודולו ${\displaystyle p}$.

הוכחה. ברור שכל חבורת ${\displaystyle p}$-סילו היא תת-חבורת-${\displaystyle p}$ מקסימלית. לכן, אם ${\displaystyle P,Q}$ שתיהן חבורות p-סילו, אז ${\displaystyle PQ}$ אינה תת-חבורה של ${\displaystyle G}$ (אחרת סדרה היה שווה ל- ${\displaystyle {\frac {|P|\cdot |Q|}{|P\cap Q|}}}$, וזו חזקת-${\displaystyle p}$ גדולה מדי). מכאן יוצא ש-${\displaystyle Q}$ אינה יכולה לנרמל את ${\displaystyle P}$ (אחרת ${\displaystyle PQ=QP}$ היא תת-חבורה).

כעת תהי ${\displaystyle P}$ חבורת ${\displaystyle p}$-סילו; בתור תת-חבורה של ${\displaystyle G}$, גם ${\displaystyle P}$ פועלת על ${\displaystyle S}$ בהצמדה, ולכן היא פועלת גם על ${\displaystyle T}$. גודלי המסלולים תחת הפעולה הזו מחלקים כמובן את הגודל של ${\displaystyle P}$, ולכן הם כולם חזקות של ${\displaystyle p}$. יש שני סוגים של מסלולים: אלה שגודלם ${\displaystyle 1}$, ואלה שגודלם מתחלק ב-${\displaystyle p}$. אם ${\displaystyle Q}$ היא נקודה יחידה במסלול, אז ${\displaystyle P}$ מנרמלת את ${\displaystyle Q}$, וזה בלתי אפשרי - אלא אם ${\displaystyle Q=P}$. כלומר, יש רק מסלול אחד שגודלו ${\displaystyle 1}$, והוא המסלול המכיל את ${\displaystyle P}$ בלבד. גודלי שאר המסלולים מתחלקים ב-${\displaystyle p}$, ולכן סכום הגדלים של כל המסלולים (שהוא כמובן הגודל של ${\displaystyle T}$) שקול ל-${\displaystyle 1}$ מודולו ${\displaystyle p}$.

הוכחת המשפט השלישי. מספיק לבחור ${\displaystyle T=S}$ בטענה.

הוכחת המשפט השני. לפי הטענה, הגודל של כל מסלול שקול ל-${\displaystyle 1}$ מודולו ${\displaystyle p}$. אבל כך גם עבור האיחוד של שני מסלולים, אילו היו כאלה, וזה כמובן בלתי אפשרי. מכאן שיש בפעולה רק מסלול אחד, ובמלים אחרות זוהי פעולה טרנזיטיבית.

קישורים חיצוניים

• משפטי סילו, באתר MathWorld (באנגלית)